Integrais duplas e triplas

INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Gabriel Felipe da Silva

Licenciado em Matemática

Joinville – Santa Catarina

2

INTRODUÇÃO:
O presente material tem por objetivo, apresentar de maneira simples clara e objetiva as Integrais Múltiplas. Aqui ficamos limitados a conhecer as integrais duplas e triplas, sendo as demais possíveis de calcular de maneira análoga. Dentro do conteúdo de integrais duplas, encontram-se as definições, interpretações geométricas, propriedades e aplicações das mesmas,

objetivando auxiliar aos alunos do curso de Matemática a alcançarem o conhecimento das Integrais Múltiplas e saber aplicá-las com eficiência.

3

1. INTEGRAL DUPLA
Vamos estudar a integral dupla, que constitui uma extensão natural do conceito de integral simples. Através dela analisaremos situações como cálculos de volumes e áreas, aplicações físicas e em outros campos da matemática. Devido à dificuldade para se fazer um tratamento matemático rigoroso, as idéias são mostradas aqui de maneira mais informal, visando a fácil compreensão dos conceitos. Alguns cálculos não estão demonstrados nesse material, mas podem ser encontrados em livros de Cálculo Diferencial e Integral.

1.1 Definição: Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e limitada R do plano xy.

Figura 1

Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considerando os retângulos que estão inteiramente contidos em R e numerando-os de 1 a n, a área de um destes corresponde a ∆Ak = ∆xk . ∆yk. Multiplicando pela função teremos o volume dos n retângulos

considerando a base xy e a superfície z = f(x,y) teremos:

 f (x k 1

n

k

, y k )Ak

4 Se aumentar n a um número muito elevado, o volume tenderá a se aproximar do volume delimitado pela região R tendo como base o plano xy e como superfície z = f(x,y), ou seja: lim  f ( x k , y k )Ak n  k 1 n

que