fisica

C´lculo III a Departamento de Matem´tica - ICEx - UFMG a Marcelo Terra Cunha

Integrais Triplas em Coordenadas Polares
Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regi˜o ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela fun¸˜o ficar a ca melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motiva¸˜o, mas com mais alternativas. Agora temos ca dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ ındricas e as esf´ricas. e

5.1

Coordenadas Cil´ ındricas A primeira generaliza¸˜o tridimensional das coordenadas polares que vamos ca trabalhar s˜o as chamadas coordenadas polares cil´ a ındricas, ou, simplesmente, coordenadas cil´ ındricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do R3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto ´ descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de e um sistema cartesiano no p´lo das coordenadas polares, mantemos a mesma o conven¸˜o de fazer θ = 0 corresponder ` semi-reta da parte positiva do ca a eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cil´ ındricas coincidirem (e at´ por isso ´ convencional usar-se a mesma letra), a mudan¸a e e c de coordenadas toma a forma: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z.
Novamente, vocˆ deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa. e 5.1.1

Regi˜es Fundamentais o J´ deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer parti¸˜es de uma a co regi˜o ´ fazer parti¸˜es nos intervalos das vari´veis que as definem. Queremos a e co a
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ent˜o entender como s˜o as regi˜es que, em coordenadas cil´ a a o ındricas, s˜o a definidas por
P = {(r, θ, z) : R1 ≤ r ≤ R2 , Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 , Z1 ≤ z ≤ Z2 } , onde Ri , Θi e Zi s˜o constantes. a O primeiro passo ´ entendermos como s˜o os limites desta regi˜o, ou e a a seja, o que significam as equa¸˜es r = Ri , θ = Θi e z = Zi . A primeira
co