05IntTriplaPolares

C´alculo III
Departamento de Matem´atica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha

Integrais Triplas em Coordenadas Polares
Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regi˜ao ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela fun¸c˜ao ficar melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motiva¸c˜ao, mas com mais alternativas. Agora temos dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ındricas e as esf´ericas. 5.1

Coordenadas Cil´ındricas

A primeira generaliza¸c˜ao tridimensional das coordenadas polares que vamos trabalhar s˜ao as chamadas coordenadas polares cil´ındricas, ou, simplesmente, coordenadas cil´ındricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do R3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto ´e descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de um sistema cartesiano no p´olo das coordenadas polares, mantemos a mesma conven¸c˜ao de fazer θ = 0 corresponder `a semi-reta da parte positiva do eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cil´ındricas coincidirem (e at´e por isso ´e convencional usar-se a mesma letra), a mudan¸ca de coordenadas toma a forma: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z.
Novamente, vocˆe deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa.

5.1.1

Regi˜ oes Fundamentais

J´a deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer parti¸c˜oes de uma regi˜ao ´e fazer parti¸c˜oes nos intervalos das vari´aveis que as definem. Queremos
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ent˜ao entender como s˜ao as regi˜oes que, em coordenadas cil´ındricas, s˜ao definidas por
P = {(r, θ, z) : R1 ≤ r ≤ R2 , Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 , Z1 ≤ z ≤ Z2 } , onde Ri , Θi e Zi s˜ao constantes.
O primeiro passo ´e entendermos como s˜ao os limites desta regi˜ao, ou seja, o que significam as equa¸c˜oes r = Ri , θ = Θi e z = Zi . A primeira equa¸c˜ao representa um cilindro (circular reto) de raio Ri e centrado no eixo z; a segunda representa um