Integrais triplas em coordenadas cilindricas e esféricas

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 1. Coordenadas Cilíndricas Em Geometria plana introduzimos o sistema de coordenadas polares para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões. Existem dois sistemas de coordenadas semelhantes às polares, que conseguem nos fornecer uma descrição conveniente de algumas superfícies e sólidos. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no especo tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy e z é à distância do plano xy ao ponto P, assim como mostra a Figura 1. y FIGURA 1 Para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares utilizamos as seguintes equações: Já para converter coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas, utilizamos: Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo, e o eixo z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria. Por exemplo, o eixo do cilindro circular com equação em coordenadas cartesianas ele tem uma equação muito simples dada por é o eixo de . Em coordenadas cilíndricas Observe a Figura 2 abaixo: FIGURA 2 um cilindro.  EXEMPLO Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é . - > SOLUÇÃO: A equação diz que o valor de , ou superior, de cada ponto na superfície é igual a , a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Então qualquer traço horizontal no…

Álvaro Fernandes Integrais triplas Seja w  f  x , y , z  uma função contínua definida numa região fechada e limitada G do espaço. Podemos associar a G um sólido no espaço. Subdividimos G em pequenos paralelepípedos traçando-se planos paralelos aos planos coordenados. Considere apenas os paralelepípedos no interior de G, como mostra afigura abaixo. Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Gk , k  1,2 ,..., n , escolhemos um ponto interno x k ,…

DERIVADAS PARCIAIS E APLICAÇÕES  INTEGRAIS MÚLTIPLAS  APLICAÇÕES DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS BIBLIOGRAFIA  Básica  ÁVILA, Geraldo – Cálculo II – Livros Técnicos e Científicos. Ed. S.     S. Rio de Janeiro, 1981. DEMIDOVITH, Boris – Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Ed. Mir Moscou. GRANVILLE, W. A – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. LEITHOLD, Louis – Cálculo com Geometria Analítica. Vol.. I e II – Ed. Do Brasil Ltda. SPIEGEL, Murray R. –…

coordenados. Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma: onde ᐁVk é o volume do paralelepípedo Tk. Faz-se isso de maneira arbitraria, mas de tal forma que a maior aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando n →ȹ Se existir , ele é chamado: INTEGRAL TRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por Propriedades De forma análoga a…

Lozano Cálculo 2 Coordenadas cilíndricas Vamos agora representar um ponto por um terno ordenado retangular usual de e e são coordenadas polares da projeção de as coordenadas cilíndricas de , como mostra a figura abaixo. , em que é a coordenada no plano . Assim, são A principal aplicação de coordenadas cilíndricas consiste em simplificar certos tipos de integrais múltiplas. Suas relações com as coordenadas retangulares estão dadas no seguinte teorema: Teorema: As coordenadas…

Disciplina: Cálculo 3 Lista 07: Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Docente: Jenai Oliveira Cazetta Curso: Engenharia Civil 1) Transforme a equação para coordenadas cilíndricas. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2) Calcule as integrais: (a) (b) (c) 3) Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as integrais abaixo: (a) Calcule , onde é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e . (b) Calcule , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide …

INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Gabriel Felipe da Silva Licenciado em Matemática Joinville – Santa Catarina 2 INTRODUÇÃO: O presente material tem por objetivo, apresentar de maneira simples clara e objetiva as Integrais Múltiplas. Aqui ficamos limitados a conhecer as integrais duplas e triplas, sendo as demais possíveis de calcular de maneira análoga. Dentro do conteúdo de integrais duplas, encontram-se as definições, interpretações…

Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas • As coordenadas cilíndricas são uma extensão das coordenadas polares de duas dimensões (R²) para o espaço de três dimensões (R³). Ponto Genérico no R³ • As coordenadas cilíndricas de um ponto no espaço são ( r, , z ). Elemento de volume em coordenadas cilíndricas • Acrescenta-se ao elemento de área polar, um acréscimo correspondente à terceira variável z, ou seja, z. O elemento de volume, em coordenadas cilíndricas…

Capítulo 10 INTEGRAÇÃO TRIPLA 10.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos Este capítulo é totalmente análogo ao anterior. Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por R = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a função limitada w = f (x, y, z) definida em R. Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d] e [p, q]: a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d p = z0 < z1 < ...... . . . . . .…

3. INTEGRAIS MULTIPLAS Integrais duplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Dada uma regiao delimitada por funcoes, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla; 4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exercıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o…