Calculo

Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

• As coordenadas cilíndricas são uma extensão das coordenadas polares de duas dimensões (R²) para o espaço de três dimensões (R³).

Ponto Genérico no R³
• As coordenadas cilíndricas de um ponto no espaço são

( r, , z ).

Elemento de volume em coordenadas cilíndricas
• Acrescenta-se ao elemento de área polar, um acréscimo correspondente à terceira variável z, ou seja,
z.
O elemento de volume, em coordenadas cilíndricas passa a ser:

dV  dz r dr d .

• A integral tripla ganha a forma:

 f (r, , z)dV   f (r, , z)dz r dr d
D

D

Elemento de volume em coordenadas cilíndricas

 f (r, , z)dV   f (r, , z)dz r dr d
D

D

dV  dz r dr d

Limites de integração
• Encontre os limites de integração em coordenadas cilíndricas para integrar a função f (r , , z ) sobre a região D limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro circular x²  ( y  1)²  1 e acima pelo paraboloide z  x²  y ².

Solução:

x²  ( y  1)²  1 x ²  y ²  2 y  1  1

r²

r sen

r ²  2rsen  0

r  2sen

Solução:

 f (r, , z)dV 
D



2 sen

0

0

 



r²

0

f (r , , z )dz r dr d

• Determine o volume da região D, onde D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r  2sen no plano xy e cujo topo está no plano z = 4

– y.

• Determine o volume da região D, onde D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r  3cos e cujo topo está no plano z = 5 – x.