geometria

pares Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos quadrantes ímpares 2º QUADRANTE 1º QUADRANTE (-,+) ( +, + ) x ( eixo das ABSCISSAS ) 3º QUADRANTE 4º QUADRANTE ( -, - ) ( +, - ) Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. Observações: I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas. P Є 0x  P = ( x, 0 ) II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas. P Є 0y  P = ( 0, y ) III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa. A Є bi  A = ( a, a ) IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa. B Є bp  B = ( b, -b ) 2 Matemática – Régis Cortes 02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS B yb yb - ya dAB ya A xb – xa xa xb Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos: d2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)2 Ex: (UFRGS) A distância entre os pontos…

de cada circunferência: a) (x-1) 2 + (y-2) 2 = 6 b) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0 d) 2x2 + 2 y2 + 16x - 32y + 134 = 0 2) Calcule a distância entre o ponto P (4,6) e o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y – 3 = 0. 3) Em relação à circunferência λ: (x+2) 2 + (y+1) 2 = 9, dê a posição dos pontos A (-2,2), B (-5, 1), D (-1,2), E (0,1) e F (-5,-1). 4) Uma circunferência com centro em C (-1,2), passa pelo ponto P(2,0). Qual a equação dessa…

de cada circunferência: a) (x-1) 2 + (y-2) 2 = 6 b) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0 d) 2x2 + 2 y2 + 16x - 32y + 134 = 0 2) Calcule a distância entre o ponto P (4,6) e o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y – 3 = 0. 3) Em relação à circunferência λ: (x+2) 2 + (y+1) 2 = 9, dê a posição dos pontos A (-2,2), B (-5, 1), D (-1,2), E (0,1) e F (-5,-1). 4) Uma circunferência com centro em C (-1,2), passa pelo ponto P(2,0). Qual a equação dessa…

passa por A e pelo ponto médio de BC é: a) y = 0 b) x = 0 c) x + y = 0 d) y = 2 e) x = 2 Solução. O ponto médio de BC é : . O Ponto A é a origem (0,0). Calculando a equação da reta r passando por A e M, temos: . 2. (A equação da reta que passa pelo ponto (3,– 2), com inclinação de 60°, é: a) b) c) d) Solução. A tangente do ângulo de inclinação é o coeficiente angular da reta. . 3. Observe o…

Geometria analítica “Circunferência e cônicas”. CIRCUNFERÊNCIA. A circunferência é o lugar dos pontos do plano que estão a uma distância constante de um ponto fixo. Este se diz centro e aquela distância é o raio da circunferência. Na circunferência da figura,temos: CA = CB = CD = r (raio da circunferência). 1.Equação da Circunferência. Considere no plano um sistema de coordenadas cartesianas.Seja C=(a,b) o centro de uma…

GEOMETRIA ANALÍTICA 1. O PLANO CARTESIANO [pic] A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto. Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados,…

(k, h), indicada. 2 R. x ′ + y′ = 4 2 2 O′ (−2, 1) 2. 3x2 + 2y2 + 12x − 4y + 8 = 0 3. 4x2 − y2 − 8x − 10y − 25 = 0 4. y3 − x2 + 3y2 − 4x + 3y − 3 = 0 5. xy − 3x + 4y − 13 = 0 2 O′ (−1, 3) 1. x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0 R. 3x ′ + 2y′ = 6 O′ (1, −5) R. 4x ′ − y′ = 4 O′ (−4, 3) O′ (−2, −1) 2 2 3 2 R. y′ − x ′ = 0 R. x ′ y′ = 1 Nos exercícios de 6 a 10, por uma translação dos eixos coordenados, transformar a equação dada em outra…

D(-2; -3) c) E(-4; -3) e O(0; 0) d) F(-4; -3) e G(-1; -12) e) W(-1; 2) e X(-2; 1) f) Y(8; 5) e Z(4; -7) Resposta: 2. Em cada caso, determine o coeficiente angular da reta. a) r: x - 2y + 6 = 0 b) s: y = - 1/3 x + 5 c) t: x/5 + y/-6 = 1 𝑥 𝑦 d) u: 7 + 7 = 1 3 4 Resposta: 3. Calcule a equação reduzida da reta r que intercepta o eixo das abscissas, no ponto P(5; 0) e possui coeficiente angular m = 2. Resposta: 4. Encontre as equações reduzidas das retas que…

de uma aresta? Solução. Observando a figura e considerando x a distância pedida, temos: . 7. Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20 e que a diagonal mede 100m. Solução. Considerando a, b, c as dimensões do paralelepípedo e k o coeficiente de proporcionalidade, temos: . 8. A água de um reservatório, na forma de um paralelepípedo retângulo, de comprimento 30m e largura 20m, atingia a altura de 10m. Com a…

ponto P é o ponto médio do segmento AB, com isso suas coordenadas serão as coordenadas médias dos pontos A e B. Veja: x x A P A  B  , 2  y y B 2  Exemplos 1) Determine o ponto médio do segmento com extremidades A (4, 6) e B (8, 10) 2) Determine o simétrico de A (3, 8) em relação ao ponto Q (-2, 1) 3) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD são os pontos A (2, 3) e B (5, 4). O ponto de interseção das diagonais AC e BD é Q (4, 6). Obtenha C e D. (sugestão: o…