Geometria analitica

- UDESC - JOINVILLE Email: dma2ra@joinville.udesc.br Home Page: www.joinville.udesc.br/dmat/rogerio Professores Integrantes do Projeto de Álgebra II Graciela Moro - Coordenadora João de Azevedo Jorge Luis Mota Lucas da Silva Ribeiro Marnei Luis Mandler Rogério de Aguiar 26 de Fevereiro de 2007 Sumário 1 SUPERFÍCIES E CURVAS NO ESPAÇO 1.1 As Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Superfície Cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cilindros projetantes de uma curva . . . . . . . . . . . . 1.4 Construção geométrica da curva formada pela interseção cilindros projetantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Primeira lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Equação Vetorial das curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Segunda lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Equação de uma Superficie de Revolução . . . . 1.10 Terceira lista de exercícios . . . . . . . .

FEUP João M. M. Mendonça Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO 7.1 7.2 7.A Coordenadas polares no plano Curvas paramétricas no plano Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” 7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO ________________________________________________________________ 7.1 Coordenadas polares no plano A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo…

entre a curva e o eixo x: Área total hachurada=  f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx a b c b c d 27/05/2011 2 Exemplo 1 Determine a área entre a curva y  x3  2 x 2  8x y  x  2 x 2  8 x  x( x 2  2 x  8)  x( x  2)( x  4) A curva cruza o eixo x no ponto zero, -2 e 4, visto que a função é contínua apenas um valor coordenado necessita ser calculado antes do esboço da curva. Para x=1, temos y=-9. Isso bem demonstra que a curva entre x=0 e x=4 é negativa. 3…

Capítulo 7 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 7.1 Aceleração, velocidade e posição A relação entre aceleração, velocidade e a posição de uma partícula pode ser obtida utilizando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivada contínua x = x(t) com velocidade v = v(t), de classe C 1 e aceleração, a = a(t) em cada instante t. dv A aceleração da partícula é: a(t) = . Pelo Teorema: dt t t…

letivo 2012.1  Nós já descrevemos curvas planas fornecendo: ◦ y como uma função de x, y = f(x), ou x como um função de y, x = g(y); ◦ Uma relação entre x e y que define y implicitamente como uma função de x, f(x, y) = 0. 2/82  Este capítulo apresenta 2 novos métodos para descrever curvas. 3/82  Algumas curvas (como a ciclóide) são mais bem manipuladas quando x e y são dados em termos de uma terceira variável t, chamada parâmetro: x = f(t) y =…

função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 f1 x ∆x a + ∆x b ∫ f ( x ) dx = ∫ a + 2 ∆x a + ∆x a a ∫ f 2 dx f 1 dx + + ... = f 1 ∫ dx + f 2 ∫ dx + ... pois, o f i para um dado retângulo é constante = f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A b ∫ f ( x ) dx = A área sob a curva a Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x. 5x − x 2 = 0 x (5 − x ) = 0 y = 5x − x 2 x = 0  x = 5 0…

definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 f1 x ∆x a + ∆x b ∫ f ( x ) dx = ∫ a + 2 ∆x a + ∆x a a ∫ f 2 dx f 1 dx + + ... = f 1 ∫ dx + f 2 ∫ dx + ... pois, o f i para um dado retângulo é constante = f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A b ∫ f ( x ) dx = A área sob a curva a Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo…

de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 ∆x f1 x a + ∆x ∫ a b f ( x ) dx = ∫ a a + 2 ∆x a + ∆x f 1 dx + ∫ f 2 dx + ... = f 1 ∫ dx + f 2 ∫ dx + ... pois, o f i para um dado retângulo é constante = f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A ∫ a b f ( x ) dx = A área sob a curva Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x. 5x − x 2 = 0 x (5 − x…

1 1. INTRODUÇÃO Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos? Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos, só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudos realizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos da mesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitos da matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desse conceito pode-se definir precisamente a…

Linha Matemática Aplicada José Caldeira Duarte Revisto em 2004/2005 Conteúdo 1 Introdução 2 2 Curvas e caminhos 2 3 Comprimento de Curvas e Caminhos 9 4 Definição de integrais de linha 17 5 Propriedades elementares dos integrais de linha 25 6 O conceito de trabalho como um integral de linha 27 7 Fórmula de Riemann-Green 31 8 Campos conservativos 38 1 1 / A g o sto / 2 0 0 5 1 Introdução b O integral de linha é uma…