Mestre

Integrais de Linha
Matemática Aplicada
José Caldeira Duarte
Revisto em 2004/2005

Conteúdo
1 Introdução

2

2 Curvas e caminhos

2

3 Comprimento de Curvas e Caminhos

9

4 Definição de integrais de linha

17

5 Propriedades elementares dos integrais de linha

25

6 O conceito de trabalho como um integral de linha

27

7 Fórmula de Riemann-Green

31

8 Campos conservativos

38

1

1 / A g o sto / 2 0 0 5

1

Introdução b O integral de linha é uma generalização natural do integral definido a f (x)dx em que o intervalo [a, b] é substituido por uma curva e a função integranda é um campo escalar ou um campo vectorial definido e limitado nessa curva.
Os integrais de linha são de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, nomeadamente, em ligação com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluídos, etc.
No que se segue começaremos por apresentar os conceitos de curva e de comprimento de uma curva após o que daremos a definição de integral de linha. Depois de enunciarmos as propriedades fundamentais do integral de linha veremos a aplicação deste ao cálculo do trabalho realizado por uma força. 2

Curvas e caminhos

Seja g uma função vectorial1 que toma valores em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À medida que a variável independente t percorre I, os correspondentes valores da função g(t) percorrem um conjunto de pontos de
IRn que constitui o contradomínio da função. Se a função tomar valores em
IR2 ou em IR3 é possível visualizar geometricamente esse contradomínio.
Exemplo 1 Seja g : IR → IR2 a função definida por g(t) = (1 − 2t, 1 + t) =
(1, 1) + t(−2, 1). O contradomínio de g é a recta que passa pelo ponto (1, 1) e tem a direcção do vector (−2, 1). (Ver Fig. 1.)
Se a função g é contínua em I o contradomínio de g chama-se uma curva, mais concretamente, a curva descrita por g.
Exemplo 2 A função f : IR → IR3 definida por f(t) = (2t − 2 sen t, 2 − 2 cos t, t) é contínua em IR .