calculo

Capítulo 7

APLICAÇÕES DA INTEGRAL
DEFINIDA
7.1 Aceleração, velocidade e posição
A relação entre aceleração, velocidade e a posição de uma partícula pode ser obtida utilizando diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo.
Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivada contínua x = x(t) com velocidade v = v(t), de classe C 1 e aceleração, a = a(t) em cada instante
t.
dv
A aceleração da partícula é: a(t) =
. Pelo Teorema: dt t

t

a(s) ds = t0 t0

dv ds = v(t) − v(t0 ); ds então: t (1)

v(t) =

a(s) ds + v(t0 ). t0 Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidade dx em cada instante t. A velocidade da partícula é: v(t) =
. Pelo Teorema: dt t

t

v(s) ds = t0 t0

dx ds = x(t) − x(t0 ); ds então: t (2)

x(t) =

v(s) ds + x(t0 ). t0 D(t) = x(t) − x(t0 ) é chamado o deslocamento da partícula. Logo, conhecendo a velocidade e a posição inicial da partícula, podemos obter sua posição em cada instante t. Um dos movimentos mais simples é quando a partícula tem aceleração constante: a(t) = a0 , para todo t. É comum nas aplicações considerar que o tempo inicial seja t0 = 0. Denotando a velocidade e posição inicial respectivamente por v(0) = v0 e x(0) = x0 , obtemos: t De (1): v(t) =
Logo,

v(s) ds + x0 =
0

0

287

t

t

a0 ds = a0 t + v0 e de (2): x(t) =

0

(a0 t + v0 ) ds + x0 .

CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

288

x(t) =

a0 2 t + v0 t + x0 .
2

Neste caso, conhecendo a velocidade e a posição inicial da partícula obtemos sua trajetória.
No deslocamento vertical de uma partícula, escolhemos o eixo dos y do sistema de coordenadas para a posição. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos y. O efeito da gravidade na partícula é diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistência do ar, a aceleração é constante a(t) = −g, onde g = −9.8