Integral
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CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área
A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 f1
x
∆x a + ∆x
b
∫
f ( x ) dx =
∫
a + 2 ∆x a + ∆x
a
a
∫ f 2 dx
f 1 dx +
+ ... = f 1 ∫ dx + f 2
∫ dx
+ ...
pois, o f i para um dado retângulo é constante
= f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A b ∫
f ( x ) dx = A área sob a curva
a
Exercícios
1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x.
5x − x 2 = 0 x (5 − x ) = 0
y = 5x − x 2
x = 0
x = 5
0
A=
∫
5
0
5x − x 2 dx = 5.
x2 x3
−
2
3
5
5
=
0
53 53 5
−
= u.a.
2
36
2) Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 . y y=x
3
A=
∫
0
3
3
f ( x ) dx =
∫
0
2 x dx = x
2
3
=
0
9
2
x
Por geometria
128
A=
1
1
9 base × altura =
×3×3=
2
2
2
que é o mesmo resultado obtido por integração.
3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva
f(x) =
12
(x – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.
8
O gráfico da curva é: y f(x)
x
4
4
-2
0
4
x3 x2
1 x3
12
2
=
A = ∫ x − 2 x + 8 dx =
− x + 8 x
−
+ x
8
8 3
8
−2
−2
24
−2
4
=
(
)
( −2 ) 3 ( −2 ) 2
64 16
8
4
14 17 15
+
+2 =
+4+
−
− 2 =
+
=
8
24
8
24
8
3
6
2
24
43
42
+424
8
y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.
4) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y Nos dois pontos y = 0→ x2 – 3x + 2 =
0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.
f(x)
b
0
1
b
A2 = +
∫
x
2
∫ (x
2
f ( x ) dx = +
a
∫ f ( x ) dx
2
= A , então
a
)
3
2
− 3 x + 2 dx = x − 3 x + 2 x
1
3
2
2
1
8 3 × 4
1
1 3
2 5
A2 = + − unidades de