Integrais
Aula 13 Técnicas de Integração
Objetivos da Aula
Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.
Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo
Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis:
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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos
Assim resolvendo esta integral teremos:
Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos
Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando
e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ] Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então
Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.
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Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos
Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato
Portanto,
pode ser escrita como
Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode