Sólidos de Revolução

Sólidos de revolução Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.) Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo: Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados desólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x. Nesta seção desenvolveremos métodos para calcular o volume V (S) de um sólido de revolução S. Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral. Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]: Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro, Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer. O procedimento será o mesmo que levou à propria denição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos mais elementares. Usaremos dois tipos de…

definição se mostre inadequada. Como poderíamos calcular, por exemplo, o número de quadrados, que cabem em um círculo unitário? Tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura para a função y = x 2. Calculo de…

distintas como a compreensão de textos.9 Diagramas Os diagramas de Venn são feitos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o "princípio desses diagramas é que classes [ou conjuntos] sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o…

encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções. Considere a região S que se encontram duas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais x = a e x = b , onde f e g são funções contínuas e f(x)  g(x) para todo x em a,b . Dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx e altura f xi*   g xi*  . A soma de Reimann n   f x   g x Δx * i * i i=1 Definimos a área A da região S como o valor-limite…

× 10 V/m. Considere que o campo elétrico e a velocidade inicial do elétron têm a mesma direção e sentidos opostos. Calcule a energia cinética do elétron, em eV, logo após percorrer os primeiros 10 cm a partir da superfície do metal. Ao se aproximarem, as forças elétricas coulombianas entre eles, não mais desprezíveis, passam a mudar continuamente suas velocidades. Despreze quaisquer outras forças, considere dados os valores de m, q, vo e 4πε0 e suponha que todos os…

Fundamentação Teórica Um dos objetivos da física é compreender em totalidade a natureza da luz, porém essa tarefa se mostrou um tanto árdua, porque a luz é um fenômeno complexo. Entretanto, essa dificuldade significa que a luz oferece muitas oportunidades para aplicações; algumas das melhores oportunidades envolvem a interferência de ondas luminosas, também conhecida como interferência ótica. A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincente para a luz foi o físico…

ou seja: nº de alelos A1 f(A1)=------------------nº total de alelos nº total de alelos A2 f(A2)=----------------------nº total de alelos Observações: a) A soma das frequências de A1 e A2 será sempre igual a unidade; independente da população ou de quaisquer suposições. É uma propriedade de frequências relativas. b) Em geral, a frequência de A1, f(A1), será simbolizada por p e, a de A2, f(A2), por q. Assim, p+q=1 Exemplo 1: Para a seguinte população diplóide estimar as…

funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante). Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação. 2 exemplos: 2.3 Integração por partes Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que , com e deriváveis. Através…

Professor: Francisco Rui Tavares de Almeida O Princípio de Cavalieri para Volumes Nesse trabalho, daremos ênfase ao Princípio de Cavalieri para volumes, o qual nos permite apresentar aos alunos do Ensino Médio, de uma maneira mais intuitiva, algumas fórmulas para se calcular volumes de sólidos. A seguir apresentamos uma versão desse princípio. Considere dois sólidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas, tais que a razão entre suas áreas é uma…

forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos. Passo 2 Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a. Figura 1. …