Geometria - Volumes

Universidade de São Paulo

Geometria e Desenho Geométrico II (MAT0240)

Instituto de Matemática e Estatística – IME/USP
30 de junho de 2014

Turma 47 (Noturno)

Camila Araujo Alba Nº USP: 6432708
Hugo Zaragossa Nº USP: 6879975 João Ceschini Nº USP: 5641126 Maithe Almeida Nº USP: 7992383
Marcio Alberti Paiva da Silva N° USP: 7158812 Professor: Francisco Rui Tavares de Almeida

O Princípio de Cavalieri para Volumes

Nesse trabalho, daremos ênfase ao Princípio de Cavalieri para volumes, o qual nos permite apresentar aos alunos do Ensino Médio, de uma maneira mais intuitiva, algumas fórmulas para se calcular volumes de sólidos. A seguir apresentamos uma versão desse princípio. Considere dois sólidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas, tais que a razão entre suas áreas é uma constante, então a razão entre os volumes V(A) e V(B) é essa constante.

O Princípio de Cavalieri reduz o cálculo de volumes ao cálculo de áreas, para isso, devemos comparar as áreas das seções obtidas nos sólidos por planos paralelos ao plano das suas bases, sendo que esses sólidos deverão ter mesma altura e devem ser considerados apoiados sobre o mesmo plano. Se a razão entre as áreas de seções correspondentes é constante, então a razão entre os volumes dos sólidos considerados é essa mesma constante.
Esse fato nos leva a entender que, se as áreas das seções correspondentes são iguais, os sólidos têm o mesmo volume.

O Volume de uma Pirâmide

Considere uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Seja A'B'C' a seção desta pirâmide determinada por um plano paralelo à base, como na figura abaixo. Na face lateral VAB da pirâmide, os triângulos VA'B' e VAB são semelhantes. O mesmo ocorre com os pares de triângulos nas outras duas faces, ou seja, o triângulo VA'C' é semelhante ao triângulo VAC, assim como o triângulo VB'C' é semelhante ao