Esferas

Matematica Essencial: Geometria: Esferas

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Geometria Espacial: Esferas
■ ■ ■ ■ O conceito de esfera Aplicação: volumes de líquidos A superfície esférica Fórmulas: objetos esféricos ■ Volume de calota inferior e integrais duplas ■ Volume de calota superior ■ Cálculos On Line

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana. Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço ndimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional: So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.
Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido