Sólidos de Revolução

Sólidos de revolução Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.) Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo: Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados desólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x. Nesta seção desenvolveremos métodos para calcular o volume V (S) de um sólido de revolução S. Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral. Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]: Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro, Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer. O procedimento será o mesmo que levou à propria denição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos mais elementares. Usaremos dois tipos de…

Trabalho e Potencial Elétrico 1. (Ufrj 2011) Um íon de massa m e carga elétrica q incide sobre um segundo íon, de mesma massa m e mesma carga q. De início, enquanto a separação entre eles é grande o bastante para que as forças mútuas sejam desprezíveis, o primeiro mantém uma velocidade constante de módulo vo e o segundo se mantém em repouso, como indica a figura 1. 3. (Uerj 2009) Um elétron deixa a superfície de um metal com energia cinética igual a 10 eV e penetra em uma…

Fundamentação Teórica Um dos objetivos da física é compreender em totalidade a natureza da luz, porém essa tarefa se mostrou um tanto árdua, porque a luz é um fenômeno complexo. Entretanto, essa dificuldade significa que a luz oferece muitas oportunidades para aplicações; algumas das melhores oportunidades envolvem a interferência de ondas luminosas, também conhecida como interferência ótica. A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincente para a luz foi o físico…

3.1. Historia de calculo de área: Passo 1 Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura limitada por curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famoso matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0) e raio unitário e o círculo centrado em (0, −1) e passando pelos pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipocrates, em…

Plana 1. 8. Três polígonos convexos tem lados expressos por três números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número de diagonais de cada um deles. 9. Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A, B, C, D ... de 20 lados. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre a medida dos ângulos x em cada caso. a) x r 2x 10. Qual…

MATEMÁTICA QUADRILÁTEROS E POLÍGONOS 1. AEU-DF Julgue os itens seguintes relativos aos quadriláteros planos. ( ) Um retângulo é um paralelogramo. ( ) As diagonais de todo paralelogramo são congruentes. ( ) Todo paralelogramo é dividido em dois triângulos congruentes por uma de suas diagonais. ( ) Um paralelogramo que possui todos os lados congruentes é um losango. ( ) Por um ponto P de uma das diagonais de um paralelogramo são traçadas retas paralelas a seus lados. Tais retas…

para Volumes Nesse trabalho, daremos ênfase ao Princípio de Cavalieri para volumes, o qual nos permite apresentar aos alunos do Ensino Médio, de uma maneira mais intuitiva, algumas fórmulas para se calcular volumes de sólidos. A seguir apresentamos uma versão desse princípio. Considere dois sólidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas, tais que a razão entre suas áreas é uma constante, então a razão entre os volumes V(A) e V(B) é essa constante. …

Descrevendo Regioes no Plano Cartesiano ˜ e no Espa¸o Euclidiano c Americo Cunha D´bora Mondaini e Ricardo S´ Earp a Departamento de Matem´tica a Pontif´ Universidade Cat´lica do Rio de Janeiro ıcia o 1 Regi˜es no Plano o Nos exemplos a seguir desejamos descrever regi˜es como uni˜es de regi˜es, onde o o o cada uma destas ser´ descrita em um dos dois formatos padr˜es: a o a ≤ x ≤ b e f (x) ≤ y ≤ g (x) , “Tipo II”: R = (x, y ) ∈ R2 ou “Tipo I”: R =…

ETAPA 3 Aula-tema: Cálculo de Área Passo 1 1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisar também em: livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração a resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas. 2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento desta forma de…

Designam-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∈ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12})1 2 e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por…