Aula 1 De C Lculo 2

1 – Aplicações de Integração
1.1 – Áreas entre as Curvas
Usaremos as integrais para encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções.
Considere a região S que se encontram duas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais x = a e x = b , onde f e g são funções contínuas e f(x)  g(x) para todo x em a,b .

Dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx e altura f xi*   g xi*  . A soma de Reimann n   f x   g x Δx
*
i

* i i=1

Definimos a área A da região S como o valor-limite da soma das áreas desses retângulos aproximantes n

    

1 – lim  f xi*  g xi* Δx n i=1

Assim,
2 – A área A da região limitada pelas curvas y = f(x) , y = g(x) e pelas retas x = a , x = b , onde f e g são contínuas e f(x)  g(x) para todo x em a,b , é b   f x   g x dx a Exemplo 1.1 – Encontre a área da região limitada acima por y = e x , limitada abaixo por y = x , e limitada nos lados por x = 0 e x = 1.
Exemplo 1.2 – Encontre a área da região delimitada pelas parábolas y = x 2 e y = 2x  x2 .

Para encontrarmos a área entre as curvas y = f  x  e y = g  x  onde f  x   g  x  para alguns valores de x , então dividimos determinada região S em várias regiões S1, S 2,  com áreas A1, A2, 
Em seguida, definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S1, S 2,  ou seja, A = A1 + A2 + . Uma vez que

 f x   g x  = 

f  x   g  x , onde f  x   g  x 

 g  x   f  x , onde g  x   f x 

temos a seguinte expressão para A.
3 – A área entre as curvas y = f  x  e y = g x  e entre x = a e x = b é b A =   f  x   g  x  dx a Exemplo 1.3 – Encontre a y = sen x , cos x , x = 0 e x = π / 2 .

área

da

região

delimitada

pelas

curvas

Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como função de y . Se uma região é delimitada por curvas com equações x = f  x , x = g x , y = c e y = d, em que f e g são