Álgebra
920 palavras
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7⇐⇒
1 0 1
/
2 1
/
20 1
−
3
/
2
−
1
/
20 0 0 00 0 0 0
αβ γ δ
=
0000
⇐⇒
α
=
− γ/ 2
−
δ/
2
β
= 3 γ/ 2 + δ/ 2
,
isto ´e,
X
=
− γ/ 2
−
δ/
23
γ/
2 + δ/ 2 γ δ
= γ
−
1
/
23
/
210
+ δ
−
1
/
21
/
201
, portanto, W
=
−
1
/
23
/
210
,
−
1
/
21
/
201
.
Ex. Resolvido 7
Encontre uma base para o subespa¸co vetorial de
R
3 dado por
U
= [(1
,
0
,
1)
,
(1
,
2
,
0)
,
(0
,
2
,
−
1)]
.
Resolu¸c˜ao:
Primeiro Modo:
(
x,y,z
)
∈
U
se e somente se existem α,β,γ ∈
R
tais que α (1
,
0
,
1) + β (1
,
2
,
0) + γ (0
,
2
,
−
1) = ( x,y,z )
,
ou seja, ( x,y,z )
∈
U se e somente se o sistema abaixo admite solu¸c˜ao
1 1 00 2 21 0
−
1
αβ γ
=
xyz
⇐⇒
1 1 00 2 20
−
1
−
1
αβ γ
=
xyz
−
x
1 1 00 1 10
−
1
−
1
αβ γ
=
xy/
2
z
−
x
⇐⇒
1 1 00 1 10 0 0
αβ γ
=
xy/
2
z
−
x
+
y/
2
⇐⇒
1 0
−
10 1 10 0 0
αβ γ
=
x
−
y/
2
y/
2
z
−
x
+
y/
2
que possui solu¸c˜ao, e esta ´e dada por α = γ + x − y/ 2
, β
=
− γ + y/ 2
, γ
∈
R
,
se e somente se z = x − y/ 2
.
Dessa forma,( x,y,z ) = ( γ + x − y/ 2)(1
,
0
,
1) + (
−
γ
+
y/
2)(1
,
2
,
0) + γ (0
,
2
,
−
1) == ( x,y,x − y/ 2) = x (1
,
0
,
1) + y (0
,
1
,
−
1
/
2)e como(1
,
0
,
1)
,
(0
,
1
,
−
1
/
2) (1.1)s˜ao l.i., segue-se que formam uma base de
U.
Segundo Modo:
Note que os vetores (1
,
0
,
1) e (1
,
2
,
0) s˜ao l.i. e pertencem a
U.
Vejamos se estes vetores juntamente com (0
,
2
,
−
1) s˜ao l.d. ou l.i.: α (1
,
0
,
1) + β (1
,
2
,
0) + γ (0
,
2
,
−
1) = (0
,
0
,
0) 8
CAP ´ITULO 1. EXERC ´ICIOS