M Dulo 15 Limites Infinitos

Módulo 15 – Limites Infinitos

Centro Universitário IESB
Disciplina: Cálculo 1
Profª Patrícia Moscariello Rodrigues

Módulo 15 – Limites Infinitos
Considere f ( x) =

1
, ∀x ≠ 0 . Observe o gráfico desta hipérbole abaixo: x À medida que x se aproxima de 0 pela direita a função f(x) tornase arbitrariamente grande.

Escrevemos isto da seguinte forma: lim+ x→0 1
=∞
x

1
Analogamente, temos que lim− = −∞ x→0 x

Definição: (1) lim f ( x ) = ∞ significa que f (x) cresce ilimitadamente quando x se x→a aproxima de a.
(2) lim f ( x ) = −∞ significa que f (x ) decresce ilimitadamente quando x se x →a

aproxima de a.

3 x → 2 ( x − 2) 2

Exemplo 1: Calcular lim

Quando x → 2 vemos que ( x − 2) → 0 e além disso ( x − 2) 2 > 0 . Logo,
3
lim
=∞
x → 2 ( x − 2) 2
1

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OBS: Se N ∈ R + , então lim+ x →0

N
=∞
x

Exemplo 2: Calcular lim+ x →1

e

lim−

x →0

N
= −∞ x x3 +1 x −1

Quando x → 1+ vemos que x 3 + 1 → 2 e

x − 1 → 0 e além disso

x −1> 0.

Logo, lim+ x →1

x 3 +1 x −1

=∞

Definição: Uma reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f (x ) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim f ( x) = ∞ lim− f ( x) = ∞ lim+ f ( x ) = ∞ x→a lim f ( x ) = −∞ x →a

x→a

x→a

lim f ( x) = −∞

x→a −

lim f ( x ) = −∞

x→a +

Exemplo 3: Encontre, se existir, as assíntotas verticais do gráfico de f ( x) =

Pelo exemplo 2 acima, vemos que lim+

x3 +1

x −1 uma assíntota vertical do gráfico da função. x →1

x3 + 1 x −1

= ∞ . Então, pela definição acima, x = 1 é

x = 1 é a Assíntota
Vertical

2

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OBS: Os candidatos à assíntotas verticais são os valores de x ∉ Dom ( f ) .

Exercício 1: Calcular os limites indicados:
4− x x −3
−3
b) lim− x → 2 x ( x − 2) 2

3x
(8 − x ) 3
−4
d) lim +
3 7x + 3 x→− c) lim+

a) lim− x →3

x →8

7

Considere novamente f ( x ) =

1
, ∀x ≠ 0 . Observe o gráfico desta hipérbole abaixo: x À medida que x cresce ilimitadamente a função f(x) torna-se arbitrariamente