Vetores

TEMA: VETOR

Pontos no plano e no espaço
Dado um plano tridimensional com X,Y e Z, onde o plano Z passa pela origem de XY. Tem-se um ponto P no espaço e se traça uma reta perpendicular ao plano XY obtendo assim sua projeção P’ e uma reta perpendicular ao eixo Z, obtendo o Z0 (altura).
Pode-se adicionar pontos no plano ou espaço se A1 = (a1, b1, c1) e A2 = (a2, b2, c2) são dois pontos no espaço, se define o ponto A1 + A2 como o ponto do espaço dado por A1 + A2 = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2).
Vetores no plano I no espaço: operações
Visualiza-se o vetor como uma seja cujo ponto inicial é A e o final é o B (vAB).
Quando há dois vetores vAB e vCD, dizemos que vAB e vCD são equivalentes se B – A = D – C.

Produto escalar
Vetores podem ser pensados como ponto inicial de origem, então todos os pontos podem ser vetores.
Tendo dois vetores no espaço vA1 = (a1, b1, c1) e vA2 = (a2, b2, c2), o produto escalar é dado por:
A1 x A2 = (a1 a2 + b1 b2 + c1 c2)
Produto escalar possui quatro propriedades:
1. A.B = B.A;
2. A, B, C são vetores então: A x (B + C) = A x B + A x C;
3. Se y é um número, então (yA) x B = y(A x B);
4. Se A = 0, então A x A = 0 e, caso contrário, A x A > 0.
Dois vetores, onde A ≠ 0 e B ≠ 0 são perpendiculares se A x B = 0.
Norma de um vetor
Um vetor no espaço ou plano, definimos a norma de C, ||C|| como sendo √ C x C.
Quando um vetor é unitário diz-se que a norma dele vale 1 (||C|| = 1).
Projeção de um vetor sobre um outro
Projeção de um vetor (vA) sobre outro não nulo (vB ≠ 0) é o vetor P = cB, onde c = (A x B)/(B x B).
Dois vetores A e B, ||A – B|| = ||A + B|| se e somente se A x B = 0.
Referência bibliográfica:
AVRITZER, Dan. Vetores no plano e espaço. In: AVRITZER, D. Geometria Analítica e Álgebra Linear: Uma Visão Geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009. p. 19-28.