Vetores



Todo o estudo de vetores feito até aqui, pode ser realizado no espaço de forma análoga, consideradas as adequações necessárias

 v 



a1v1 a2 v2

 v  a3v3   é combinação linear de v1 , v2
 


 e v3

Dizemos que
O par de vetores v1 , v2 e v3 , não colineares, é chamado base no espaço.



Analogamente, uma base no espaço será
   formada pelos vetores canônicos i , j , k .

i (1,0,0)

j (0,1,0)

k (0,0,1)

Eixo das cotas

Eixo das ordenadas

Eixo das abscissas





Analogamente, uma base no espaço será formada
   pelos vetores canônicos i , j , k .
Cada dupla de eixos determina um plano.
Portanto, temos três planos coordenados.



Um ponto no espaço:



Um vetor no espaço:
◦ Consideremos um vetor as componentes do vetor

onde x, y e z são na base canônica
.



Todas as análises feitas para os vetores do R2 são empregadas para os vetores do R3
◦ Igualdade de vetores
◦ Soma de vetores e produto de um escalar por um vetor
◦ Vetor definido por dois pontos



Exercícios:
◦ Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores abaixo:

 u ( 2, 1,1)

v (3,0, 1)

w ( 2,2,2)

Verifique se existe os números a1, a2, a3 tais que



 w a1 AB a2u a3v



Vetores colineares
◦ Mesma reta
◦ Retas paralelas



Lembrando:
◦ Multiplicação de um escalar por um vetor





Sendo:

 u ( x1 , y1 , z1 )

v ( x2 , y2 , z2 )

Assim, se dois vetores são colineares paralelos), existe um número k tal que:

 

se u // v então u


Ou seja:

( x1 , y1 , z1 )

(são

 kv k ( x2 , y 2 , z 2 )

( x1 , y1 , z1 ) (kx2 , ky2 , kz2 ) x1 kx2

y1

ky2

z1

kz2

x1 x2 y1 y2 z1 z2 k



Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que
P,Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.



Determinar os valores de m e n para que sejam