Vetores

Espaço Vetorial
Vetores no Plano
Iremos considerar apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem, denominados vetores no plano. É importante notar que vetores no plano são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem. Assim, para cada ponto do plano P(a, b), está associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, dado um vetor, associamos um único ponto do plano, que é o seu ponto final. Isto é, a correspondência entre pontos do plano e vetores é biunívoca.
Usando esta correspondência entre vetores e pontos do plano, costumamos representar um vetor v = OP pelas coordenadas do seu ponto final P(a, b).
Usamos a notação da matriz-coluna v = a , ou mesmo a identificação b v = (a, b). Por exemplo, v = 1
3 ou v = (1, 3). Observe que, desde modo, à origem do plano ficará associado um vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com esta. Denominamos tal vetor ( que é só um ponto) de vetor nulo, e este será representado por ( 0, 0).
O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a, b), então
W = (- a, - b) e, por essa razão, denotamos w = - v.
Operações com Vetores no Plano 1. Multiplicação de um vetor por um numero.
A multiplicação de vetor por numero corresponde à multiplicação da matriz-linha (ou coluna) por esse numero. Assim, se v = (a, b) e w = kV, então w = (ka, kb).
b) Adição de dois Vetores.
Alguns vetores motivaram a definição formal de soma de dois vetores no plano. Se v = (a, b), w = (c, d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d). Observe que somar vetores corresponde simplesmente a somar as matrizes que os representam. As operações entre vetores herdam, portanto, todas as propriedades das operações correspondentes para matrizes.
Vetores no Espaço
Da mesma forma que fizemos no plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas