Vetores - Algebra

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VETORES

Coordenada ( x, y, z) : determinante da posição de um ponto P .
Vetor r ( x, y, z) : sensor do movimento de um ponto P .
Z
P (x, y, z)

r
O
Y

X
Os vetores da origem "O" até os pontos (1, 0, 0) , (0, 1, 0) e (0, 0, 1) são os vetores unitários i, j, k. Qualquer vetor r pode ser escrito em termos destes vetores unitários. r = OP = i x + j y + k z , onde x, y e z são as coordenadas de P.
Um vetor genérico a é então representado pelas coordenadas cartesianas. a = ( a1, a2, a3 )
PRODUTO ESCALAR •

r r a • b = ( a1 , a 2 , a 3 ) • (b1 , b2 , b3 ) = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 )
O produto escalar é a projeção do vetor a na Escala b .
O módulo de um vetor é a raiz da projeção deste em sua própria escala:
|a|2 = a • a = a1 x a1 + a2 x a2 + a3 x a3

a=

a

2

1

2

2

+ a 2 + a3

Um automóvel (A) movimenta-se a velocidade VA = |a| , na direção e r sentido de a ; um segundo automóvel (B) alinha seu movimento com a direção r e o sentido do vetor a . Na situação em que A e B se encontram movimentando-se lado a lado, se B possuir um medidor de velocidades, então é possível determinar o módulo da velocidade de A : VA = VB = |b| .

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| VA |2 = a • b = |a| x |b| x cos θ, onde θ é o ângulo entre a e b, neste caso ajustado em Zero para permitir a medição do módulo da velocidade.
Cos θ é o coseno diretor do movimento de rotação de um sistema de coordenadas fixo em b, ou referencial de b, utilizado para projetar b na direção de a e determinar |a|.
Genericamente, a • b = |a| x |b| x cos θ .( Lei dos cossenos)

c

b θ a c=a+b c•c=(a+b)•(a+b)=a•a+b•b+2a•b c • c = |c|2 a • b = ½ { |c|2 - |a|2 -|b|2 } a • b = |a| x |b| x cos θ
|c|2 = |a|2 + |b|2 + 2 x |a| x |b| x cos θ ( outra forma da Lei dos cosenos ).
( 0 ≤ θ ≤ Π ) : cos θ ≤ 1
| a + b | ≤ |a| x |b| ("Desigualdade do Triângulo")
|a • b| ≤ |a| x |b| ( "Desigualdade de Cauchy – Schwarz" )
------ *** ------PRODUTO VETORIAL X

c b Y

θ
O

X
Z

a