vetor gradiente

Vetor de Gradiente
Há uma bijeção entre o espaço dos funcionais lineares de IR²e o próprio IR², que associa o funcional definido por T(x, y) = α x + β y ao par ordenado (α, β).
Isso é outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espaço dos funcionais lineares de IR² é um espaço vetorial e é chamado espaço dual.
Isso nos faz olhar para o vetor (∂f/∂x(x, y), ∂f/∂y(x, y)), como o dual da diferencial dz = ∂f/∂x(x, y)dx +∂f/∂y(x, y) dy, num ponto genérico (x, y) do domínio de f, e nomeá-lo gradiente de f. Usamos a notação.
∇f(x, y) = (∂f/∂x(x, y), ∂f/∂y(x, y)).
A palavra gradiente provem do latim gradientis, particípio de gradi, que significa caminhar, assim como a palavra grau provem de gradus, que significa passo, medida, hierarquia, intensidade. A palavra gradiente significa, na linguagem comum, a medida da declividade de um terreno.
Significa, também, a medida da variação de determinada característica de um meio, tal como pressão ou temperatura, de um ponto para outro desse meio. Como tal, nada mais é do que uma taxa de variação. O símbolo ∇, usado para representar esse vetor, é chamado nabla.
Exemplo:

Plano Tangente
Na definicão de diferenciabilidade de uma função f: A ⊂ IR² → IR, no ponto (a, b) ∈ A
Subconjunto aberto de IR², a equação: f(x, y) = f(a, b) + ∂f/∂x(a, b).(x-a) + ∂f/∂y (a, b) (y −b) +E(x, y)
Desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a aplicação afim: A(x, y) = f(a, b) + ∂f/∂x(a, b) (x−a) + ∂f/∂y(a, b) (y −b)
No caso de f ser diferenciável em (a, b), é aquela que, entre todas as aplicações afins, dá as melhores aproximações aos valores da função f, em alguma vizinhança do ponto (a, b).
Então seja f : A ⊂ IR² → IR , uma função definida no subconjunto aberto A de IR², diferenciável no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela equação z = f(a, b) + ∂f/∂x(a, b) (x-a) + ∂f/∂y(a, b) (y-b)
É o plano tangente ao gráfico da função f, no