Derivada Direcional

Derivada Direcional
Antes de iniciarmos o estudo propriamente dito sobre gradiente, temos que entender o conceito de derivada direcional. Como o próprio nome diz, a derivada direcional nada mais é que a derivada numa determinada direção.
A derivada dz/ds , que é a taxa de variação do campo escalarz em relação à distância medida na direção do vetor unitário u , é denominada derivada direcional dez (ou derivada direcional da função ƒ ) na direção de u e é escrita como Duz (ou ). Assim, temos

onde

Em particular, se é um vetor unitário que faz um ângulo Ө com o eixo positivo de x , então u = (cos Ө)i +(sen Ө)je

Exemplo: Um campo temperatura no plano xy é dado por

onde z é a temperatura em graus F no ponto (x, y) e onde as distâncias são medidas em quilômetros. Com que velocidade varia a temperatura em graus F por quilômetro quando nos movemos da esquerda para direita pelo ponto (60,75) ao longo da reta L que faz um ângulo de 30º com o eixo positivo dos x ?
Um vetor unitário u paralelo a L e na direção do movimento ao longo de L é dado por u = (cos 30º)i+(sen30º)j = (√3/2)i +(1/2)j . Daí,

Fazendo x=60 e y=75encontramos que a taxa de variação de z quando nos movemos através do ponto (60,75) na direção de u é graus F por quilômetros.

Gradiente

Um gradiente é a razão segundo a qual uma quantidade variável aumenta ou diminui. Por exemplo, o gradiente de diferença de potencial é a diferença de potencial por unidade de comprimento ao longo do condutor ou através do dielétrico em função do tempo. O gradiente de tensão é a tensão por unidade de comprimento, ao longo de um circuito, ou outro percurso condutor por unidade de tempo, podendo ser positivo, ou negativo.
Do exemplo acima, fica fácil entender o conceito que será visto a diante.
O vetor cujas componentes escalares são as derivadas parciais dez com respeito à x e y esse vetor é denominado gradiente do campo escalarz (ou da função ƒ) e é escrito como (ou como). O gradiente de