Derivada Direcional

Intituto Federal do Piauí-Campus Piripiri

Derivada direcional
Vetor gradiente
Plano tangente
Carlos Henrique
Flávio Sousa
Sílvio César
Tiago Ximenes

Derivada Direcional
A chamada derivada direcional nos permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção.

𝑓(𝑥+ℎ 𝑐𝑜𝑠 θ,y+h sen θ)−𝑓(x,y)
ℎ
ℎ→0

Duf(x,y)= lim

D f(x, y)  f x (x, y) u1  f y (x, y) u 2 u Taxa de variação de f na direção u no ponto P0 ao longo dessa reta.

Exemplo:
Encontre a derivada de f(x,y)=x2y+√𝑦 em P0(2,1) na direção do vetor u= 5i -2j

Exemplo:
Determine a derivada direcional de f(x,y,z)= x².y.z³ +z que passa pelo ponto 𝑃0 ( 1, -2, 0), na direção do vetor u= 2i +j -2k.

Vetor Gradiente de duas variáveis
Se f é uma função x e y e se fx e fy existem, então o gradiente de f, denotado por ∇f é definido por
𝛻𝑓(x, y) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝐢 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝐣

O vetor gradiente é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.
Possui diversas aplicações, desde de o calculo de derivadas direcionais a maximização das mesmas.

Exemplo
Calcule a gradiente da função f(x,y)=x² +y² no ponto P(3,4)

Plano Tangente
Se chama plano tangente a uma superfície no ponto P da mesma, ao plano que contém todas as tangentes às curvas traçadas sobre a superfície pelo ponto P.

𝑑𝑓
𝑑𝑓
(𝑥 , 𝑦 )(𝑦 − 𝑦0 ) +
(𝑥 , 𝑦 )(𝑦 − 𝑦 𝑜 )
𝑑𝑥 0 0
𝑑𝑦 0 0
= (𝑧 − 𝑧0 )

Exemplo:
Determine a derivada tangente de f(x,y)= x².y, no ponto 𝑃0 (2,1,4).

Exemplo:
A função f(x,y,z)= 4x²- y² + 3z, tangência no ponto 𝑃0 (1,5,2). Determine a equação do plano
tangente.