5 Texto Derivada Direcional E Gradiente

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Universidade Salvador – UNIFACS
Cursos de Engenharia – Cálculo IV
Profa: Ilka Rebouças Freire
Cálculo Vetorial
Texto 02: Derivada Direcional e Gradiente.

A Derivada Direcional
f
f
(Po )
(Po ) e
y
x correspondem às taxas de variação de f quando, a partir de Po, há um deslocamento nas direções positivas de OX e OY, respectivamente.
Vamos generalizar esse conceito determinando as taxas de variação de f quando, a partir de Po, há um deslocamento numa direção qualquer.

Consideremos a função escalar f: D  R2  R e Po  D. Vimos que



Seja z = f(x,y) uma função com derivadas parciais contínuas e seja u = ( u1, u2) um vetor unitário que faz um ângulo  com o eixo OX. Vamos analisar como f varia quando há um deslocamento na


direção e sentido de u .




Sejam P(x,y) e P1 (x + x , y + y)  D( f ), e PP1 o vetor de mesma direção e sentido de u , sendo que P1 está a uma distância u de P.

y + y

P1

u
P

y





u



y
x
x + x

x



Definimos a derivada direcional de f na direção do vetor u como sendo, se existir, o limite f (P1 )  f (P)
f
(
P
) lim =
.

Δu 0
Δu
u
Podemos mostrar que a definição da derivada direcional dada, através do limite acima é equivalente a que apresentamos a seguir

2



Seja z = f(x,y) com derivadas parciais contínuas em (x,y) e seja u = ( u1, u2) um vetor unitário.
f
Indicamos por  ( ou Du ) e denominamos por derivada direcional de f no ponto (x,y), na
u

f
f
f
direção do vetor u , a função  ( x, y) 
( x , y) u 1 
( x , y) u 2
x
y
u

Observações:






O vetor u é um vetor unitário, logo podemos escrevê-lo como u = ( cos, sen ), sendo 


o ângulo que u faz com o eixo Ox




Podemos também considerar u = ( cos, cos), onde  é o complementar de  e cos e


cos são os cossenos diretores de u . Neste caso escrevemos
f


( x , y) 

u

f
f
f
f
( x, y) cos α 
( x, y)senα 
( x, y) cos α 
( x, y) cos β
x
y
x
y


u




u

Interpretação Física
A derivada direcional dá a taxa de