Lista de Cálculo Profª Juliana UNIP

Vetor Gradiente

Seja a função , que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto . O gradiente de f no ponto é o vetor dado por: = =

Se a função tiver mais que duas variáveis como, por exemplo, o gradiente de em é dado por:

Observação:

1. O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento e decrescimento de uma função, ou seja, indica a direção na qual a função cresce e decresce mais rapidamente.

2. A norma do vetor gradiente calcula a taxa de variação.

Uma importante informação que o vetor gradiente traz é a do crescimento da função:
O vetor gradiente indica a direção e o sentido de maior crescimento da função a partir do ponto em que foi calculado.
O módulo do vetor gradiente indica a intensidade do crescimento da função a partir do ponto em que foi calculado.
O vetor gradiente ainda completa a informação gráfica obtida no mapa de contornos de uma superfície, determinando o “fluxo de crescimento” da superfície. Exercícios:

1. Calcule o vetor gradiente das funções, nos casos:

a) b)

2. Se , determine o gradiente da função no ponto (0,1).

3. Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em .

a) ,
b) ,

Derivada Direcional

Seja uma função de duas variáveis que representa uma superfície S no espaço. Se é um ponto fixo da superfície e é o versor de , então a derivada direcional de em na direção do versor é definida como:

Ou seja, é o produto escalar do gradiente de em e o versor de .

Exercícios:

1. Encontre a derivada direcional de no ponto (2,0) na direção do vetor .
Resposta: -1

2. Encontre a derivada direcional de no ponto (2,-1) na direção do vetor .
Resposta:

3. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.

a) , (2,4)

b) , (1,-2,-3)

Regra da Cadeia – Taxa de Variação

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