Trabalho De Algebra Linear 1

Trabalho de Álgebra Linear: Mudança de base

( Rebello set/2014 )

A álgebra linear encontra um terreno fértil de aplicações em muitas áreas, entre elas na criação de vídeo games.
Vamos imaginar o cenário construído no Minecraft. Podemos observar este cenário de vários pontos do espaço. Cada ponto mostrará uma nova perspectiva deste mesmo cenário.

Imagens: Contribuição de Gabriel Esteves Rebello

Surge uma dúvida:
Como funciona esse mecanismo do ponto de vista da matemática?
A resposta está intrinsicamente ligada à álgebra linear, ou seja, matriz mudança de base.
A natureza do nosso trabalho será focada, na abordagem matemática necessária para fazer as transformações gráficas relativas a cada ponto de observação.
Para melhor conduzir nosso estudo, vamos considerar algumas restrições:

# O cenário (original) será descrito na base canônica ( ̂

̂ ̂ );

# Uma vez fixado o ponto de observação “P”, o sentido de visão estará sempre voltado para a origem de sistema;
# Em “P”, construiremos uma base ortonormal e um desses vetores consideraremos paralelo ao plano xy (horizontal).

Fundamentação:
Conforme foi deduzido em sala de aula, seja um vetor ⃗ descrito na base
⃗⃗

Se considerarmos as bases
{ }

Onde:

⃗⃗

{

Podemos escrever [ ⃗ ]
[⃗ ]

[

]

[

}

e

⃗⃗
{

}

⃗⃗

{

}

como:
] [⃗ ]

Assim, a matriz mudança de base [ ]
Veja que [ ⃗ ]

: [⃗ ]

[

]

[

]

pode ser um conjunto de vetores, dispostos numa matriz (2 x n) para o R2 .

Como a base original do objeto para nosso estudo será a base canônica, portanto já conhecida, vamos nos preocupar com base de observação em P.
Gerando a base a partir do ponto P.
Dado o ponto P, podemos construir um dos vetores da base ( ̂ ) por normalização do vetor
⃗⃗⃗⃗⃗ ( P é o ponto de observação e O a origem do sistema).
O segundo vetor ̂ , vamos considerar paralelo ao plano xy. Para isso, consideraremos a
]. Estamos interessados em um vetor unitário, para isso, terceira componente nula [ precisamos impor a condição:
|[

]|

√

√