Teoria dos Jogos

SOLUÇÃO DO JOGO USANDO OS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos 2x2

Com estratégia para o jogador R e para o jogador C e que o jogo não seja estritamente determinado.
Agora vamos determinar uma estratégia ótima para R:
Se C joga sua primeira coluna, o ganho esperado de R é a11p1 + a21p2.
Se C joga sua segunda coluna, o ganho esperado de R é a12p1 + a22p2.
Se v é o menor dos ganhos esperados:

O jogador R procura tornar v o maior possível, isto é, R procura encontrar p1, p2 e v tais que v seja máximo e

A adição de uma constante k a todos os elementos de A, não modifica as estratégias ótimas para R e C e o valor do jogo é k mais o valor do jogo anterior. Assim, é possível supor que, adicionando uma constante apropriada a todos os elementos da matriz de pagamentos, todo elemento de A é positivo e v também é positivo. Dividindo-se cada uma das restrições por v e fazendo , conclui-se que

Logo, v é máximo se e somente se y1+y2 é mínimo. O problema de R agora pode ser enunciado da seguinte maneira:

Que é um problema de programação linear.
O problema de C, encontrar q1, q2 e u, tais que u seja mínimo e

Fazendo , conclui-se que

Logo u é mínimo se e somente se x1+x2 é máximo, e o problema de C será:

Generalizando:
Seja A = [aij]mxn a matriz de pagamentos, p1, p2, ..., pm estratégias de R e q1, q2, ...,qn estratégias de C.
Problema de R

Problema de C

SOLUÇÃO PELO MÉTODO DE GANHO E PERDA ESPERADO

Seja o seguinte jogo que não é estável (não possui ponto de sela)

Jogador II Jogador I

John Von Neumann provou que, mesmo o jogo que não possui ponto de sela definido por uma estratégia pura, pode ser analisado para chegar-se a uma estratégia ótima por meio de um procedimento bem definido, ou seja, é possível determinar os valores das probabilidades para o jogador I e as probabilidades para o jogador II, e