Teorema de Green

Séries de Taylor e de Maclaurin

• Definições – Série de Taylor e Série de Maclaurin

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por (f) em x = a é:

Á série de Maclaurin gerada por (f) é:

Á série de Taylor gerada por (f) em x = 0.
• Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2,..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio.

• Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn (x). Podemos usar a ideia de um resto Rn (x) definido por:

O valor absoluto é chamado de erro associado à aproximação.

• Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que:

Onde: • Combinando Séries de Taylor
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.