O Teorema de Green

O Teorema de Green estabelece uma ligação importante entre integrais de linha e integrais duplas. É necessario uma revisão sobre algumas caracteristicas das curvas.
1- Uma curva C é chamada de simples caso não se intersecciona em nenhum ponto entre suas extremidades; 2- Uma curva C é denominada de fechada quando o ponto final B é o mesmo que o ponto inicial A; 3- Uma curva C é chamada suave ou lisa quando composta por um número finito de curvas lisas ligadas em cantos.
O Teorema de Green se refere a uma integral de linha ao longo de uma curva C, fechada, simples e suave (ou lisa) que forma a fronteira de uma região R no plano e o sentido ao longo de C é anti-horário.
Se C é uma curva fechada simples, suave (ou lisa), que delimita uma região R, e se P e Q funções de duas variáveis x e y contínuas e tem derivadas parciais contínuas ao longo de C e em todo D, então:
Seja A a região limitada pelas parábolas y = x² e y = - x² + 2 para x > 0.

Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, tal como ilustra a figura seguinte, onde se possa aplicar o Teorema de Green, vamos ver que a fórmula do Teorema de Green vale ainda para a união A = A1 A2.

Esta discussão elucida-nos como tratar regiões que têm “buracos". Por exemplo, considere-se a coroa circular A = A1 A2 da figura seguinte.

Esta região não é o interior de uma curva simples, mas sim a região limitada por duas curvas simples, a saber,

Repare-se que a fronteira de A é:

Somando, obtemos mais uma vez a fórmula do Teorema de Green: Note-se que as orientações indicadas para re e ri “deixam à esquerda os pontos de A".

Definição: Sejam x, y e z funções de u e v que são contínuas em um domínio D no plano uv. O conjunto de pontos (x,y,z) dados por: r(u,v) = x(u,v)i+ y(x,y)j + z(u,v)k é chamado de SUPERFÍCIE PARAMÉTRICA e x(u,v), y(x,y) e z(u,v) são as equações paramétricas da superfície.
Em outros termos, parametrizar uma superfície é transformá-la de R² (duas dimensões) para R³ (três dimensões).
As