Teorema de Green

Teorema de Green
O teorema de Green expressa uma integral de linha ao longo de uma curva C (que é fronteira de uma região R), em termos de uma integral dupla sobre essa região R. Sua aplicabilidade aparece bastante em problemas de Eletricidade e Eletromagnetismo.
Alguns Conceitos:
Curva Suave
É uma curva C definida por , é tal que é contínua e nunca igual ao vetor nulo.
Curva Simples
É uma curva que não se intercepta.
Exemplos:

(a) Curva fechada, orientada, suave e não simples (b) Curva fechada, suave, orientada e simples

(b) Curva nem simples e nem fechada (e) Curva simples, fechada e seccionalmente suave

Teorema de Green
Seja U um conjunto aberto de R2 e = (F1, F2) um campo vetorial com derivadas parciais primeiras continuas sobre U. Se C for uma curva fechada simples, seccionalmente suave, orientada no sentido anti-horário, contida inteiramente em U, e se R for a região limitada por C, então

. =

Exemplo 1
Seja R a região limitada pelas parábolas y = x2 e y = - x2 + 2 para x > 0 e seja o campo vetorial = (xy, x). Calcule . , onde C é a curva fronteira da região R orientada no sentido positivo (anti-horário).

Pelo Teorema de Green temos . = 5/6

Exemplo 2
Calcule onde C é a fronteira da região limitada por x = y4 + 1 e x = 2, orientada no sentido anti-horário.
A região D é ilustrada a seguir:

.
Exercício I:
(a) Use a integral de linha para calcular onde C é a curva fechada que consiste no arco de parábola y = x2, da origem ao ponto (2, 4) e no segmento de reta de (2, 4) até a origem.
(a) Resolva a integral de linha usando o Teorema Green.
Resp: 64/15
Exercício II:
Use o Teorema de Green para encontrar o trabalho realizado para mover um objeto no sentido anti- horário uma vez em torno da circunferência x2 + y2 = a2, se o movimento for causado pelo campo de forças
= (sen x – y , ey – x2). Suponha que o arco seja medido em