Teorema de green

CAP´ ITULO 9 TEOREMA DE GREEN

9.1 Teorema de Green para Regi˜es Limitadas por o Curvas Fechadas Simples Parametrizadas por Fun¸oes c˜ 1 de Classe C por Partes
Vamos come¸ar a nos preparar para o Teorema de Green, que ´ um important´ c e ıssimo teorema em an´lise vetorial com muitas aplica¸oes. Inclusive, ele permite demonstrar a c˜ que, para certos conjuntos especiais no plano, a condi¸˜o do Teorema 8.5.1 tamb´m ca e ´ uma condi¸ao suficiente. Antes de enunciar o teorema, vamos definir curvas simples. e c˜ DEFINICAO 9.1.1: Seja C uma curva parametrizada pela fun¸˜o γ : [a, b] → R2 . ¸˜ ca Se γ ´ injetora em [a, b) i.e.γ(t1 ) = γ(t2 ) para todo t1 = t2 , t1 , t2 ∈ [a, b), ent˜o C ´ e a e dita uma curva simples.

Uma curva simples ´ portanto uma curva sem auto-interse¸ao. Observe que C pode ser e c˜ simples e fechada, pois observe que na defini¸˜o de curva simples existe a possibilidade ca de termos γ(a) = γ(b), uma vez que o intervalo de varia¸˜o de t1 e t2 est´ aberto em b. ca a Neste caso, i.e. se C ´ uma curva fechada, dizemos que C ´ uma curva fechada simples. e e

TEOREMA 9.1.1: (Teorema de Green para Regi˜es Limitadas por Curvas o Fechadas Simples Parametrizadas por Fun¸oes de Classe C 1 por Partes) c˜ 1 Sejam P e Q campos escalares de classe C , definidos em um aberto Ω ⊆ R2 . Seja C uma curva fechada simples, imagem de uma fun¸˜o de classe C 1 por partes, e seja B a ca regi˜o determinada pela uni˜o da curva C com seu interior. Se B est´ contida em Ω, a a a ent˜o a ∂Q ∂P − P dx + Q dy = dx dy, ∂x ∂y C B onde a integral de linha ´ calculada no sentido anti-hor´rio. e a

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C´lculo Dif. e Int IV - Notas de Aula - Prof a Denise a

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Observa¸˜o 9.1.1: A f´rmula do Teorema de Green dada acima (Teorema 9.1.1) ca o tamb´m se aplica se C for uma curva fechada simples, formada pela uni˜o finita de e a 1 curvas imagens de fun¸oes de classe C por partes. c˜

Observa¸˜o 9.1.2: (Teorema de Stokes no Plano) Dado o campo vetorial F (x, y) = ca (P