spline

4.6 - Funções Spline em Interpolação
Se a função f(x) está tabelada em (n + 1) pontos e a aproximarmos de grau n que a interpola sobre os pontos tabelados, o resultado dessa aproximação pode ser desastroso.
Uma alternativa é interpolar f(x) em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômio de grau menor, e impor condições para que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem.
A figura mostra o caso em que aproximamos a função por uma função linear por partes, que denotaremos S 1 (x).
Figura 4.6.1 (ver livro de Ruggiero M.A. S.)
Observamos que a função S1 (x) é contínua, mas não é derivável em todo o intervalo (x0 , x4), uma vez que S´1 (x) não existe para x = xi, 1 ≤ i ≤ 3.
Podemos optar também por, a cada três pontos: xi, xi+1 , xi+2 , passar um polinômio de grau 2 e, neste caso, teremos também garantia só de continuidade da função que vai aproximar f(x).
Figura 4.6.2 (ver livro de Ruggiero M.A. S.)
No caso das funções spline, a opção feita é aproximar a função tabelada, em cada subintervalo [xi, xi+1], por um polinômio de grau p, com algumas imposições sobre a função conforme a definição a seguir.
Definição 4.6.1:
Considere a função f(x) tabelada nos pontos x0 < x1 < ... < xn .
Uma função Sp(x) é denominada spline de grau p com nós nos pontos x, i = 0, 1, i ..., n, se satisfaz as seguintes condições:
a) em cada subintervalo [xi, x ], i = 0, 1, ..., (n – 1), Sp(x) é um polinômio de i+1 grau p: sp (x).
b) Sp (x) é contínua e tem derivada contínua até ordem (p – 1) em [a, b].
Se, além disto, Sp(x) também satisfaz a condição:
c) Sp (xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n, então será denominada spline interpolante.
A origem do nome spline vem de uma régua elástica, usada em desenhos de engenharia, que pode ser curvada de forma a passar por um dado conjunto de pontos (xi, yi), que tem o nome de spline. Sob certas hipóteses (de acordo com a teoria da elasticidade) a curva definida pela régua pode ser