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Interpolação Spline
É uma técnica de aproximação que consiste em dividir o intervalo de interesse em várias partes e interpolar, da forma mais simples possível , com polinômios de graus pequenos.
Spline lineares:
O mais simples que podemos fazer com dois pontos é uni-los por uma reta. Os splines de primeiro grau podem ser definidos como um conjunto de funções lineares, de forma que: f(x)=f(x0)+m0(x–x0) , para x0≤x≤x1 f(x)=f(x1)+m1(x–x1) , para x1≤x≤x2
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f(x)=f(xn−1)+mn−1(x–xm−1) , para xn−1≤x≤xn
Onde Mi é o coeficiente angular da reta que liga os pontos :
Mi = f(xi+1) – f(x1) / xi+1 – xi
Essas equações podem ser usadas para calcular a função em qualquer ponto entre x0 e xn.
Spline Quadrático:
Esse método é idêntico ao linear. A única diferença está na função da união de dois pontos, que tem que ser quadrática. A spline quadrática tem como objetivo determinar o polinômio de segundo grau para cada intervalo entre os pontos dados. É representado pela função:
Fi(x) = ai x² + bi x + ci
Para n+1 pontos dados (i= 0, 1, 2, ... , n ), existem n intervalos e 3n constantes indeterminadas para calcularmos: ai , bi e ci . Sabendo disso criamos 3n equações para calcular essas incógnitas.
Dos valores adjacentes e dos polinômios adjacentes que devem ser iguais aos pontos anteriores. Essas equações são: ai−1x2i−1+bi−1xi−1+ci−1=f(xi−1) aix2i−1+bixi−1+ci=f(xi−1)
Para i = 2...n . Como apenas dois pontos internos foram usados , as equações acima fornecem cada uma n-1 equações para um total de 2n-2 equações.
A primeira e a última função tem que passar pelos pontos externos . Temos mais duas equações: aix20+b1x0+c1=f(x0) anx2n+bnxn+cn=f(xn)
As primeiras derivadas nos pontos anteriores devem ser sempre iguais. A derivada terá a forma: f′(x)=2ax+b A condição geral será:
2ai−1xi−1+bi−1=2aixi−1+bi
Para i = 2, ... , n. Isso fornece n – 1 equações para um total de 3n – 1.
A última condição supõe que a segunda derivada seja nula no primeiro ponto. Portanto: