Sistemas Lineares

Notas de Aula - Sistemas Lineares

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3. Sistemas Lineares

3.1. Introdução
Um problema de grande interesse prático que aparece, por exemplo, em cálculo de estruturas, redes elétricas e solução de equações diferenciais, é o da resolução numérica de um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas. Por exemplo:
 a11  x1  a12  x2  .......... a1n  xn
 a  x  a  x  .......... a  x
22
2
2n
n
 21 1
Sn  


 an1  x1  an 2  x2  .......... an n  xn

 b1
 b2
.
.
 bn

ou n S n   ai j  x j  bi ,

i  1, 2,.......,n

j 1

Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como
A x  b

sendo:




A matriz quadrada de ordem n, conhecida como matriz dos coeficientes; b e x matrizes n  1 , isto é, com n linhas e uma coluna; ai j coeficiente da incógnita x j ;



bi termos independentes, com i, j  1, 2,....,n .

Tanto os coeficientes quanto os termos independentes são, em geral, dados conhecidos do problema e podem ser números reais ou complexos.
Os números x1 , x2 ,......,xn constituem uma solução do sistema, se para xi  xi , i  1, 2,.......,n as equações de S n se transformam em igualdades numéricas. Com estes números, pode-se formar a matriz coluna x que é a solução do sistema:

EFB 104 - Métodos Numéricos

10.03.2014

Notas de Aula - Sistemas Lineares

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 x1 
x 
 2
T
x   .    x1 x 2 ....... x n 
 
. 
 x n 

3.1.1 Classificação quanto ao número de soluções
Os sistemas de equações lineares são classificados, quanto ao número de soluções que apresentam, em:
3.1.1.1. compatível (ou possível) e determinado, quando possui uma única solução. As soluções podem ser:
 solução trivial, ou seja, todas as incógnitas têm valor zero x  0 . Neste caso, o determinante da matriz A é diferente de zero e o vetor b, dos termos independentes, é nulo. Um exemplo pode ser o sistema abaixo, cuja solução é x  0 e y  0 :

1 1  x  0
x  y  0 ou 

    
1  1  y  0
x  y  0
 solução não trivial, ou seja, pelo menos