Sistemas Lineares

Sistema Lineares

Método de eliminação de Gauss
Método de eliminação de Gauss: Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6
5x - 2y = 6
2x + 3y = 10 são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.
T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.
Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3 são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.
Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32
15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74 são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.
Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3
SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12 x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (-