Sistemas lineares e matrizes

Sistemas Lineares
Introdução
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Conceito de equações lineares
É uma equação da forma:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde: x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos:
a) x + y + z = 20
b) 2x –3y + 5z = 6
c) 4x + 5y – 10z = –3
d) x – 4y – z = 0

Resolução de um sistema linear
1) Dado o sistema: x + y = 3 x – y = 1
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe: x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1
2) Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Sistema linear homogêneo
Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o termo (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial.
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI.
Será:
SPD: se admitir somente uma