Matrizes e Sistemas Lineares

Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
Neste primeiro cap´ıtulo, esbo¸camos um resumo de resolu¸c˜ao de sistemas lineares, e apresentamos, sempre que poss´ıvel, argumentos geom´etricos que ilustrem os exemplos. Nosso objetivo final ser´a a apresenta¸c˜ao de um algoritmo conhecido como escalonamento, destinado `a resolu¸c˜ao e an´alise de sistemas lineares.
Antes de mais nada, vamos relembrar algumas propriedades das matrizes. Por uma matriz real Am×n , de ordem m × n (lˆe-se m por n), entenderemos um conjunto de mn valores reais, indexados aij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, como no exemplo abaixo :
Exemplo 1


Am×n



= (aij ) = 


a11 a21 ..
.

a12 a22 ..
.

am1 am2

· · · a1n
· · · a2n
..
..
.
.
· · · amn







Os elementos aij ser˜ ao ditos entradas ou coeficientes da matriz Am×n .
As opera¸c˜oes elementares com matrizes nos ser˜ao bastante u
´teis, donde relembramos a
Defini¸
ca
˜o 1 (Soma de Matrizes) Sejam A = (aij ) e B = (bij ) matrizes de ordem m × n, com coeficientes reais. Definimos a soma C = A + B como sendo a matriz C = (cij ) tal que cij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 2


1
√
 − 2
1

√
√
 
 

2 −1
−1
2 −1
0√ 2 2 −2
√
2
0  +  − 2 −2 0  =  −2 2 0
0 
0
3
1
0 −3
2
0
0

√

Defini¸ ca ˜o 2 (Multiplica¸ ca ˜o por escalar) Sejam Am×n = (aij ) uma matriz com coeficiente reais e α ∈ R. Definimos o produto B = αA como sendo a matriz Bm×n = (bij ) tal que bij = αaij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
1

CAP´ITULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

2
Exemplo 3

√ 
  √
1
0
−1
3
0
−
√
√
√
√3

2 √2  =  √
3· 0
0
√6 2 3
−1 2
3
− 3 2 3
3


Defini¸ ca ˜o 3 (Produto de Matrizes) Sejam Am×n = (aij ) e Bn×k = (bij ) matrizes com coeficientes reais. Ent˜ao, definimos o produto das matrizes A e B como sendo a matriz
Cm×k = (cij ) de modo que n cij =

ail blj l=1 Exemplo 4
√




−2 6 + 2 √2
1
2
3
1 √0