Matrizes e sistema Linear

Cap´ ıtulo 5

Matrizes e Sistemas lineares
Neste cap´ ıtulo estudaremos alguns m´todos para calcular a solu¸˜o de sistemas de equa¸˜es e ca co lineares. Apenas nos preocuparemos com sistemas quadrados, isto ´, aqueles em que o e n´mero de equa¸˜es ´ igual ao n´mero de inc´gnitas. Sup˜e-se que as no¸˜es b´sicas de u co e u o o co a a
´lgebra matricial, como adi¸˜o e multiplica¸˜o de matrizes, matriz inversa e identidade, ca ca determinante de uma matriz etc., sejam conhecidas do leitor.

5.1

Introdu¸˜o ca Um sistema de equa¸˜es alg´bricas de ordem n, que ´ um conjunto de n equa¸˜es com n co e e co inc´gnitas, o
8
>a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
>
>
>
.
>.
>.
>
: an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn

pode ser representado atrav´s de uma equa¸˜o matricial e ca
Ax = b , onde 2

a11
6 .
A=4 .
.

a12
.
.
.

···
..
.
···

3 a1n . 7 ´ matrix dos coeficientes,
. 5e
.
ann

an1 an2
2 3 x1 6 . 7 o x = 4 . 5 ´ o vetor colunar das inc´gnitas,
. e xn 2 3 b1 6.7 b = 4 . 5 ´ o vetor dos termos independentes.
. e

bn
Em todo o texto, salvo men¸˜o em contr´rio, sempre indicaremos um sistema linear ca a gen´rico de ordem n por Ax = b. Para facilidade de nota¸˜o usaremos indistintamente e ca
2 3 x1 6 . 7 x = 4 . 5 ou x = (x1 , . . . , xn ) .
.
xn

60

5.2
5.2.1

Exemplos de Aplica¸˜o ca Provetas

1

Considere o seguinte problema: quatro tipos de materiais particulados est˜o distribu´ a ıdos por quatro provetas, e em cada proveta os materiais s˜o dispostos em camadas, n˜o misa a turadas, de modo que seja poss´ medir facilmente o volume de cada material em cada ıvel uma delas. Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais.
Para colocar o problema em termos matem´ticos, chamemos os materiais de A, B, C e a D, e suas densidades respectivas de ⇢A ,