Runge-kutta 3 e 4 ordem

Métodos Numéricos

Método Runge-Kutta 3a e 4a Ordem

Hugo Felippe da Silva Lui

10/0107797

Paulo Filip Teixeira de Almeida 10/0118631 Rafael Schiavon Fortes 10/0120482

Brasília 02 de Outubro de 2012

Runge-Kutta 3º e 4º ordem Os métodos de Runge-Kutta são uma combinação dos métodos de Euler (de passo simples) e de Milne (de passos múltiplos). A vantagem dos métodos de Runge-Kutta sobre o método de Euler é uma exatidão maior para o mesmo número de cálculos. Sua vantagem sobre o método de Milne é sua estabilidade e podem ser iniciados sem auxílio de outros métodos. Seja = f(x,y), y(x0) = y0

Este método consiste em obter a função y(x) partindo do conhecimento da sua derivada. Numericamente busca-se conhecer valores de y(x0 + Δx), y(x0 + 2Δx), etc, a partir apenas do conhecimento de (x0; y0), para valores de Δx pequeno, mas finitos. A ideia básica deste método é aproveitar as qualidades dos métodos da série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f (x, y) que torna os métodos de série de Taylor computacionalmente ineficientes. Dependendo do numero de termos utilizados na série de Taylor, podemos obter vários métodos de Runge- Rutta, que diferirão entre si, na ordem (número de termos na série de Taylor para obtermos a mesma exatidão). Os métodos de Runge-Kutta de ordem n se caracterizam por: 1-Ser de passo um, ou seja, calcular yi+1 usando apenas yi . 2-Não precisarem calcular a derivada em f(x,y), no entanto é necessário calcular f(x, y) em vários pontos. 3-Após expandir f(x, y) por série de Taylor para função de duas variáveis em torno de (xn, yn ) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem. Erros no métodos de Runge-Kutta: Erro de truncamento: que poderiam ser chamado “erros do método”.

Erro de arredondamento: que é causado pelo fato de termos um grande número de cálculos a fazer, ou porque o comprimento h é muito pequeno, ou porque