Método de Runge Kutta

DELC - Departamento de Eletrônica e Computação
ELC 1021 – Estudo de Casos em Engenharia Elétrica

Solução de Equações Diferenciais
Ordinárias Usando Métodos
Numéricos
Versão 0.1
Giovani Baratto

Fevereiro de 2007

Índice

1

Método de Euler......................................................................................... 1
1.1
Derivação da Fórmula de Euler ......................................................... 1
1.2
Exemplo Usando o Método de Euler .................................................. 2
2 Método de Runge-Kutta............................................................................. 5
2.1
Exemplo Usando o Método de Runge-Kutta...................................... 7
3 Equações Ordinárias de Ordem de 2ª Ordem ........................................... 8
3.1
Solução Usando o Método de Euler.................................................... 9
3.2
Solução Usando o Método de Runge-Kutta ..................................... 11

Neste texto será apresentado o método de Euler e o método de Runge-Kutta para a solução de equações diferenciais ordinárias.

1 Método de Euler
O método de Euler, também conhecido como método da reta secante, é um dos métodos mais antigos que se conhece para a solução de equações diferenciais ordinárias. Problemas práticos não devem ser resolvidos com o método de Euler. Existem outros métodos que proporcionam resultados com uma melhor precisão e estabilidade se comparados ao método de Euler para o mesmo passo.

1.1 Derivação da Fórmula de Euler dy = f ( x, y ) com a condição de contorno y = yn quando dx x = xn . Da Figura 1, observa-se que o valor de yn +1 , em x = xn +1 , é dado por:

Seja uma função

yn +1 = yn + Δy

(1.1)

Do cálculo, pode-se escrever que:

dy =

dy
⋅ dx dx (1.2)

Da equação (1.2), encontra-se uma aproximação para Δy :

Δy ≅

dy
⋅ Δx dx (1.3)

Das equações (1.1) e (1.3), encontra-se: yn +1 = yn + ( xn +1 − xn ) ⋅ f ( x n