Soluções Numericas EDO

Solução Numérica de EDO’s – continuação (reitero a importância da leitura complementar do capítulo 8 da bibliografia indicada anteriormente0

, através de planilha de dados, encontre

1. Seja o PVI:

e

pelo método de Euler

com:
a)
b)
c)

Método de Euler Aperfeiçoado (Runge–Kutta de 2ª ordem – RK2)
Conforme o próprio nome indica, este método consiste em fazer mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de ordem mais elevada, o que aumenta a eficácia do método, ou seja, quanto maior a ordem do método, mais próximas da solução exata estarão as aproximações encontradas e, consequentemente, menor o erro.
O método de Runge-Kutta de 2ª ordem é dado por (ver justificativa na bibliografia sugerida):
(4)
onde

são parâmetros livres (constantes arbitrárias). No caso particular em que:

(4) pode ser reescrita como:
,
como

e

, então:
,

definindo

:
,
, temos:

definindo

Assim:
(5)
Onde:

Por isso dizemos que o Método de Euler Aperfeiçoado é um caso especial do Método de Runge-Kutta de 2ª ordem.

Exemplo:
Seja o problema de valor inicial (PVI):

,

Método:

p/

onde

:

Ponto aproximado pelo método:

p/

:

Ponto aproximado pelo método:

p/

:

,333251953125

Ponto aproximado pelo método: e assim sucessivamente...
Lembre que calculando analiticamente este PVI, encontramos a solução única

.

Exercícios
1. Usando uma planilha de dados:
a) Faça a simulação do PVI acima, considerando
i)

O método de Euler, com

;

ii) O método de Euler Aperfeiçoado, com iii) A solução exata

, usando:

;

;

b) Compare os resultados de (a) , (b) e (c), o que pode-se concluir?
c) Repita o procedimento anterior com

2. Considerando a planilha anterior, encontre
a)

;

b)

;

c)

em cada caso, com:

;

d)

3. Seja o PVI:
a)
b)
c)

;

, encontre

pelo método de Euler Aperfeiçoado com:

Método de Runge-Kutta de 3ª ordem (RK3):
(6)
onde:

Método