Rotacional

INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)

INTEGRAL DE LINHA E ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL

r

Seja um campo de velocidades v não uniforme em um meio homogêneo de

1

densidade ρ. Suponha que coloquemos no interior deste campo um tubo constituido

5

de trechos retilíneos, de seção reta constante o qual permite a passagem do fluido
2

4

sem o menor atrito. Suponha ainda que as paredes deste tubo são extremamente porosas de modo que o fluido possa atravessá -las sem que sua velocidade seja

3

alterada significativamente.
Num determinado instante, por um processo que não nos interessa agora, as parede do tubo se fecham de modo a não permitir a entrada ou a saida de fluido. Assim, durante um certo instante, o fluido que estava no interior do tubo continua em movimento. A pergunta será: se não há atrito, haverá continuação do movimento? Em outros termos, haverá ou não circulação do fluido?
Para respondermos a essa questão, devemos lembrar que este é um problema que envolve

r

choques, isto é, a massa de fluido contido no lado 1 e que tem velocidade v 1 se choca com a massa de fluido do lado 2, e assim por diante. Para se estudar este tipo movimento escolhemos como ferramenta o momento linear. Assim, se a soma das quantidades de movimento p = m1 v1 + m2 v2+ m3 v3 cos θ3 - m4 v4 + m5 v5 cos θ5 ≠ 0, podemos afirmar que haverá circulação. Observe que nos lados 3 e 5 o vetor velocidade não é paralelo ao respectivo lado, de modo que somente a componente tangencial irá contribuir para a circulação.
Observe ainda que podemos reduzir mais ainda estes cálculos. Sabemos que mj = ρ Vj, onde mj e Vj são a massa e o volume do lado j. Se A é a seção reta (constante) do tubo e l j é o comprimento do lado j, então mj = ρ A l j . Definiremos, então a grandeza p/ ρ A como :
[circulação] = Γ = v1 l 1 + v2 l 2 + v3 l 3 cos θ3 - v4 l 4 + v5 l 5 cos θ5
Observe que podemos dispensar o recurso do tubo e