Propriedades do rotacional

Universidade Federal do Cear´ a
Engenharia de Teleinform´tica Noturno a
Eletromagnetismo Aplicado - Noturno Andr´ Washington Morais de Freitas 0322979 e

1

Provar propriedade do rotacional : X(AXB) = ( · B)A − ( · A)B + (B· )A − (A· )B 1o Fazer o produto vetorial de (A X B) :  i j k AXB =  Ax Ay Az  = (AyBz−AZbY )i+(AzBx−AxBz)j+(AxBy−AyBx)k Bx By Bz Fazendo agora o rotacionlao com este vetor:  i j k  ∂ ∂ ∂ X(AXB) =   ∂x ∂y ∂z AyBz − AzBy AzBx − AxBz AxBy − AyBx 

   

Resolvendo essa matriz, temos : ∂ ∂ (AxBy − AyBx) − (AzBx − AxBz) + i ∂y ∂z ∂ ∂ j (AyBz − AzBy) − (AxBy − AyBx) + ∂z ∂x ∂ ∂ (AzBx − AxBz) − (AyBz − AzBy) + k ∂z ∂x Nas componentes ∂By ∂Bz Ax − ∂y ∂z ∂Bz ∂Bx − Ay ∂z ∂x ∂Bx ∂By − Az ∂x ∂y Assim, temos: Ax ∂By ∂Bz ∂Bz ∂Bx ∂Bx ∂By − + Ay − + Az − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (V etorAvesesoDivergentedeB) ∂Ay ∂Az ∂Az ∂Ax ∂Ax ∂Ay Bx + − By + Bz + + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (V etorBvesesoDivergentedeA) 2 i, j e k, reorganizar os termos resulta: ∂ ∂ ∂Ay ∂Az ∂ ∂ + − Bz + Az −Bx +Ax By −Bx Ay + ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂Az ∂Ax ∂ ∂ ∂ ∂ + − Bx + Ax −By +Ay Bz −By Az + ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂Ax ∂Ay ∂ ∂ ∂ ∂ −Bz + +Az Bx − By −Bz Ax + Ay ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − Bz + Ay Bz − Bx + Az Bx − By ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (V etorAvesesoV etorBescalarN abla) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + Az − By Az + Ax − Bz Ax + Ay Bx Ay ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂y (V etorBvesesoV etorAescalarN abla) Ax By O que equivale a: A( · B) − B( · A) + A(B·

−

) − B(A· )

3