prova de calculo

Cálculo B
Ficha número 1

Outubro 2006
Mestrado Integrado em Engenharia: Mecânica, Comunicações.

Funções trigonométricas inversas

1. Calcule :
a) arcsen(−

√
2
2 )

b) 2arcsen(−1)
³
³ √ ´´
d) tg arccos − 23

c) cos(arcsen 1 )
2
¡
¢
e) cotg arcsen(− 4 )
5

¡ 5¢ f ) sen(arcsen − 13 )

£
¤
h) cos arcsen( 1 ) − arccos( 3 )
2
5

g) sen( π − arctg 4 )
3
5

2. Determine o número real designado por:

√
¡
¢
a) arcsen sen π + 4arcsen(− 1 ) + 2arc cos(− 22 )
2
2

b) cos2

¡1

¢
¡
¢ arccos 1 − sen2 1 arccos 1
2
3
2
3

¡
¢
c) tg 2 (arcsen 3 ) − cotg 2 arc cos 4
5
5

3. Considere as seguintes funções reais de variável real:
a) f (x) = 2arcsen(2x − 1) + π
c) h(x) = 2 arccos

³

3 x+2 ´

+

π
2

b) g(x) = cos π + 3 arccos(1 − 4x)
d) i(x) =

π
3

+ arctg

³

1 x+5 ´

Determine o domínio e o contradomínio das funções indicadas. Caracterize as suas funções inversas.
4. Considere a função real de variável real definida por, p(x) =

π
− 2arccos(x + 1)
3

a) Calcule p(−1) − p(− 3 ).
2
b) Determine o domínio e o contradomínio da função.
c) Calcule caso existam, os zeros de p.
d) Caracterize a função inversa de p.
e) Resolva a seguinte inequação; p(x) ≤ − π .
3

1

5. Determine a expressão das derivadas das funções:
a) f (x) = xarcsen(4x)
c) h(y) =

√
1
seny + arccos( y )

e) j(t) = 3t.arcsen

³√
´
t2 − 1

b) g(t) = arctg 2 (7t)
d) i(x) = cos (arctg (3x))
f) m(y) =

1 cos y

− arctg( y )
2

6. Considere a função real de variável real definida por, µ ¶
1
π t(x) = + arctg
4
x+1
a) Calcule t(0) + t(−2).
b) Determine o domínio e o contradomínio de t.
c) Determine o conjunto de solução de A = {x ∈ R : t(x) > 0}.
d) Caracterize a função inversa de t.
e) Escreva a equação da recta tangente de t, no ponto de abcissa 0.
f) Que pode concluir acerca da continuidade de t no ponto de abcissa 0. Justifique a sua resposta.
7. Considere a função real