prova calculo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
MAT- 001 - CÁLCULO 1 – 1a PROVA – 03/10/2009
GABARITO

1a Questão (15 pontos): Uma função é tal que e para todo . Nestas condições, calcule o valor de .

SOLUÇÃO:

Para , temos
Para , temos
Para , temos

2a Questão (15 pontos): Seja a função definida por , sendo . Se , mostre que .

SOLUÇÃO:

Como , então . Assim: .
Para , temos: .
Porém (Função Ímpar).
Portanto: .
Finalmente: .

3a Questão (20 pontos): Encontre o Domínio da função definida por .
SOLUÇÃO:

Condições de existência: .
Devemos resolver as inequações (A) e (B) e fazer a interseção dos resultados.
Inequação (A):

Solução: ou .
Inequação (B):
.
Portanto, para satisfazer as duas inequações ao mesmo tempo, devemos ter:
.

4a Questão (15 pontos): Sabe-se que o gráfico da função definida por possui apenas uma Assíntota Oblíqua. Encontre a equação dessa Assíntota.

SOLUÇÃO:

A equação da Assíntota Oblíqua tem a forma , onde: .
Assim:
.
.
.
Portanto, a Assíntota Oblíqua é a reta .

5a Questão (15 pontos): Sendo , encontre os valores de e , de modo que e .

SOLUÇÃO:

Vamos primeiramente reduzir a função ao mesmo denominador:
.
.
Reduzindo os termos semelhantes:
.
Como , temos:
.
Como , temos:
.
Portanto: e .

6a Questão (20 pontos): Calcule:
a) b)

SOLUÇÃO:
a) .
Fazendo: .
Se , então .
Assim: .
.

b) Temos: .
Multiplicando e dividindo o numerador e o denominador por e , respectivamente, temos:
.
Separando os limites, teremos: .