Prova de Cálculo A Limites

Calculo A – 23 de maio de 2012

Prova n 2
˚

Prova n 2
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Avisos :
1. Celulares desligados.
2. 2 horas de prova !
3. Só terá validade o que estiver a caneta !

Questão 1
Enunciar o Teorema do Valor Medio.

Questão 2
a. Seja f a seguinte função : f : Dom(f ) → R x → arctan(x) −

x
.
1+x2

(i) Achar o domínio da função f .
(ii) Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função f .
(iii) Calcular f (0) e estudar o sinal da função f . (Dica : usar o item (ii))
b. Seja g a seguinte função : g : Dom(g) → R x x → arctan(x) .
(i) Achar o domínio da função g.
(ii) Calcular lim g(x), lim g(x) e lim g(x). x→−∞ x→+∞

x→0

(iii) Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função g.
(iv) Calcular a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (1, g(1)).
(v) Esboçar o gráfico da função g.

Questão 3
Seja f a seguinte função : f :]0, +∞[ → ] − 8, +∞[ x3 x
→ 2x2−8
+1
a. Calcular f (x).
b. Provar que f é inversível.
c. Calcular (f −1 ) (0).

Questão 4
Seja f a seguinte função : f : R − {−1, 0} → R x → x21
+x
a. Verificar que f (x) =

6x2 +6x+2
(x2 +x)3

para todo x ∈ R − {−1, 0}.

b. Estudar a concavidade da função f .

Questão 5
Estudar a derivabilidade da função f seguinte : f : [0, +∞[ → R
√
x → xsen(x). 1

Professor Jérôme Rousseau