Números complexos

NÚMEROS COMPLEXOS (

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introdução
Os números complexos surgiram no século 16, motivados pelo interesse em se calcular soluções de equações polinomiais. Por um longo tempo, eles não foram considerados como números legítimos, mas existentes apenas na imaginação humana. É interessante observar que ainda hoje chamamos o número complexo i = de “algarismo imaginário”. O passo decisivo no sentido de formalizar o conceito de número complexo foi a representação geométrica desses números como pontos do plano. O primeiro matemático a ter uma visão clara de tal representação e explorá-la em suas investigações foi Gauss, conforme fica clara, embora de modo implícito, em sua dissertação escrita em 1797. Todavia, Gauss expôs ao público suas idéias a esse respeito de modo explícito apenas em 1831, com o propósito de introduzir os “inteiros gaussianos”. O corpo dos números complexos foi finalmente definido de modo rigoroso por hamilton em 1837. a famosa fórmula de bhãskara (século 12)

para o cálculo das soluções da equação do 2º grau = 0 (a ≠ 0) que na verdade já era conhecida pelos babilônios há quase 2 000 anos a.C., nos mostra que uma tal equação sempre possui soluções nos complexos. Um fato notável sobre os números complexos é que toda equação polinomial não constante com coeficientes reais (ou complexos) possui pelo menos uma solução em . Este fato, conhecido como teorema fundamental da álgebra, foi provado por Gauss em 1797. resolver a equação x2 + 1 = 0 x2 = - 1 (1.1)

vemos que não existe nenhum x IR que satisfaça a equação; portanto se faz necessário estender o conjunto dos reais a um conjunto maior na qual a equação anterior tenha solução. assumindo que podemos aplicar raiz quadrada em (1.1) obtermos que x = + a qual não faz sentido no conjunto dos números reais, portanto estenderemos este conjunto a um conjunto maior a equação (1.1) tenha solução. Desta forma introduzimos um novo elemento, que denotaremos por i chamada de unidade imaginária satisfazendo i 2 