números complexos

INTRODUÇÃO

1. O número ‘ i ‘:

Historicamente, os estudos sobre números complexos começaram graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576), ele mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para uma equação do segundo grau.
Os números complexos são úteis para resolver equações do tipo x²+1=0, uma vez que não existe qualquer número real com a propriedade que o seu quadrado seja igual a −1. Todo número complexo tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=−1.
Dado o número complexo z=a+bi, então a é a parte real de z, denotada por Re(z) e b é a parte imaginária de z, denotada por Im(z).
O conjunto dos números reais pode ser considerado como um subconjunto dos números complexos com b=0. Se a=0 o número complexo 0+bi=bi recebe o nome de número imaginário puro.
1.1) Exemplos:

1. z=3+0i é um número real, pois Re(z)=3 e Im(z)=0.

2. z=0+5i é um número imaginário puro, pois Re(z)=0 e Im(z)=−5.

3. z=0+0i é um número real, pois Re(z)=0 e Im(z)=0.

4.

DESENVOLVIMENTO

2. Forma algébrica do número complexo

2.1) Plano de Argand-Gauss.

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado